Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
30
5.1. Найти числовое значение алгебраического выражения / (х) = х333 + х33 + Xs + 1976, если значение х удовлетворяет условию х2 + х + 1 = 0.
5.2. Поставить вместо многоточия такое натуральное число п, чтобы ответ на следующий вопрос был однозначным: «Сколько прямых проведено на плоскости, если известно, что они пересекаются в ... различных точках?»
5.3. Числа х, у положительны, причем х + у = 5. Какое наименьшее значение может принимать выражение — + — ?
х у
5.4. Не вычисляя площадей треугольников со сторонами at = 5, b{ = 5, с1 = 6, й2 = 5, Ьг = 5, сг = 8', установить, равновелики ли они.
5.5. Доказать, что во всяком треугольнике длина медианы не меньше длины биссектрисы.
§ 6. СОСТАВЛЯЙ СВОИ ЗАДАЧИ
При изучении в школе русского языка вам часто приходится встречаться с двумя видами работы: диктантами и сочинениями. И тот и другой вид учебной деятельности помогает вам лучше, глубже познать родной язык- и литературу. Возникает вопрос: не будет ли полезным и при изучении математики выполнять аналогичные работы? На у роках!-математики вы обычно выполняете задания по решению стандартных задач' (чем не диктанты?) и даже пишете, наверное, в последнее время специальные математические диктанты. Но вряд ли вы работаете над математическими сочинениями. А полезно было бы! Что же такое математическое сочинение? Ответим на этот вопрос не сразу; скажем лишь, что самостоятельное составление интересных задач есть простейшее математическое сочинение. Большинству из вас кажется-, что задачи могут изобретать лишь «ученые взрослые люди, убеленные сединой», или, в крайнем случае, ваши учителя. Не так ли? Это представление ошибочно! Правда, весьма трудно «сочинять» задачи, если самому не заниматься их решением. Больше того, идеи, реализованные в условии большинства задач, возникают у авторов либо при решении некоторых других задач, либо при вдумчивом изучении теории. И тем и другим вы постоянно занимаетесь. Так почему бы вам не приняться за составление задач? Правда, составлять малоинтересные и легкие задачи (например такую: «У мамы 10 яблок, а у Коли на 2 яблока больше. Сколько всего яблок у мамы и Коли вместе?») нетрудно. Но это и неинтересно, да и пользы от такого сочинительства мало. Если же конструировать сложные или необычные задачи, то это интересно и, главное, это один из верных- способов научиться решать задачи.
Итак, будем учиться составлять задачи, посмотрим, как это делается.
31
Рассмотрим следующую задачу: «Построить треугольник по данным серединам его сторон».
Не правда ли интересная задача? Попробуйте-ка десять минут поработать над ней, а потом загляните в решение, которое мы излагаем здесь (заметим, что приводится только решение, а не описание
хода решения). Рис. 25 Решен и е. I) Соединить три дан-
ные точки отрезками прямых и получить треугольник ABC (рис. 25).
2) Провести через вершины А, В, С прямые, соответственно параллельные противоположным сторонам треугольника до взаимного пересечения в точках М, N, К- Полученный треугольник MNК искомый. (Дайте обоснование правильности построения.)
Допустим, мы решили эту задачу, выявили все полезное, что можно извлечь из задачи и ее решения. Работа вроде бы окончена? Да. Но она может быть продолжена, если вы оглянетесь назад еще раз н поразмыслите над этой задачей.
В самом деле, задача необычная—даны не привычные для вас линейные или угловые элементы искомой фигуры, а ее точечные элементы. Будет жаль, если такая задача (такие задачи вам вряд ли встречались ранее) останется единственной в своем роде. Не правда ли? Мы сейчас составим еще несколько аналогичных задач, причем несколько только потому, что могли бы составить сколько угодно таких задач. Внимание, начинаем!
В условии этой задачи говорится о построении треугольника по трем данным серединам его сторон. Начнем с того, что будем задавать себе вопросы в связи с этим условием:
1) Почему «треугольник» (а не другую фигуру)?
2) Почему «по серединам сторон» (а не по другим его точкам)?
3) Почему «по трем» (а не по одной, двум)?
4) Почему только «по данным точкам» (а не по сочетанию точечных, линейных и угловых элементов фигуры)?
Ограничимся пока этими четырьмя «почему?». Мы не сможем сразу (да нам и не нужно это сейчас) ответить на все вопросы, на все эти «почему?». Нам нужно только начать отвечать, причем отвечать на вопрос вопросом, начинающимся со слов «А нельзя ли...?». И каждый наш ответ породит новую задачу, связанную с данной. Следите внимательно за возможными ответами на первое «почему?».
1) А нельзя ли построить по данным серединам сторон квадрат?
2) А нельзя ли построить по данным серединам сторон трапецию? И т. д., и т. д.
А вот несколько ответов на второе «почему?».
3) А нельзя ли построить треугольник по двум серединам его сторон?
32
4) А нельзя ли построить параллелограмм по трем серединам его сторон? И т.д., и т. д.
А теперь нам осталось только переформулировать свои ответы, придав тексту форму условия задачи.
