Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
и от того, что, проводя ОК, мы не называем ОК биссектрисой, суть дела не меняется.
Итак, мы вернулись к началу. Мы лишний раз убедились в том, что нужно внимательно изучать условие задачи, начиная ее решение. «Извлечем урок» из этой ошибки и снова изучим условие. Рис. 9 Изучая условие, будем стараться
20
Данный угол
Угол, конгруэн гныи данному
Рис. 10
осмыслить его и в целом и в деталях.
1) Проводить луч ОК (в любом случае) нельзя, — значит, искомый угол следует строить где-то вне данного.
2) «Построить угол» в школьной геометрии означает построить его при помощи двух инструментов — циркуля и линейки (без делений). Прежде чем строить искомый угол, необходимо вспомнить, как при помощи инструментов строить угол, в частности угол, конгруэнтный данному. Вспомним это (рис. 10) (номерами указан порядок построения).
3) Теперь нам ясно, что требуется от нас условием задачи: величина искомого угла равна половине величины данного; инструменты, которыми можно пользоваться: циркуль и линейка.
Перейдем теперь к планомерному поиску решения задачи.
Что мы знаем об углах и их половинах? Какие известны нам свойства, связывающие два угла? Мы задали хорошие вопросы. Мы на пути к решению! Ответим себе на них:
1) Сумма величин внутренних углов треугольника равна 2d.
2) Половина величины развернутого угла есть величина прямого утла.
3) Величина внешнего угла треугольника больше величины внутреннего утла, с ним не смежного.
4) Величина внешнего угла треугольника равна сумме величин внутренних углов, с ним не смежных.
5) Величины центральных углов в одном круге равны, если соответствующие им дуги конгруэнтны.
6) Величина вписанного угла измеряется половиной величины дуги, на которую он опирается.
И это еще не все! Пока хватит, пожалуй. Какое из этих свойств больше подходит к нашей ситуации?
1) вряд ли будет полезно (у нас два угла: один новый, один искомый);
2) это слишком очевидно (к тому же данный угол не развернутый);
3) слишком общее сравнение величины углов (одна больше другой);
4) это полезно обдумать (правда, треугольник не задан, но его нетрудно построить);
5) это также полезно обдумать (круг также можно построить);
6) стоп! (Величина вписанного угла измеряется половиной величины дуги, на которую опирается, а центральный — величиной всей дуги!) Интересно!
Итак, можно выбрать шестое направление — посмотреть, нельзя ли прийти от данного угла (с «пересадкой» через дугу) к углу
21
половинной величины. Но для этого необходимо сделать так, чтобы данный угол был центральным, а искомый — вписанным. Вот и готов план решения!
Теперь для решения остался лишь один шаг! А ведь мы<только что были в самом его начале! Все оказалось очень просто (рис. 11).
1) Построить циркулем окружность с центром в точке 0.
2) Отметить любую точку А на окружности.
3) Соединить точку А с точками пересечения угла и окруж-
hccth.
Вернемся к намеченным ранее направлениям поиска и попы-иху.ся использовать какое-либо другое (например, свойство внешнего угла треугольника).
Мае интересует угол, величина которого равна половине величины данного. Подумаем над тем, как изменить известное нам скйство внешнего угла в нужном направлении.
О каком треугольнике здесь идет речъ? О любом? Есть ли такси треугольник, в котором величина внешнего угла будет вдвое Гсльше величины внутреннего, с ним не смежного? Есть такой тре-\i ельник — равнобедренный (рис. 12).
/ч s\ s\
1=3 + 2
/ч ^Ч
3 = 2
1=2-3 = 2-2
/Ч 1 /'Ч /Ч
2 = -I • 1=3.
2
Теперь нетрудно наметить новый план решения. К данному \гл. «построить» равнобедренный треугольник. Новое решение гс: г во (рис. 13):
11 строим угол КОМ, смежный с данным углом MON;
21 на лучах ОМ и О К отложим конгруэнтные отрезки OA и ОБ;
Ь> соединим точки А и В; получим: В АО = А ВО. Н\ что ж, осталось доказать, что н это решение верно. Осталось zczhzcr,: итог после этого решения. Осталось посмотреть, нет ли
еще какого-либо способа решить эту задачу. Осталось... (да мало ли, что осталось...}. Удивительно, но факт — осталось больше работы (и интересной работы), чем сделано, а задача, между прочим, решена. Вернемся теперь к главной теме нашего разговора: к ответу на вопрос: «Как начинать решение задачи?»
Сформулируем второй совет решающему задачу.
Начиная решение задачи:
1) изучи условие задачи — «Хорошо понять вопрос — значит, наполовину ответить на него»;
2) изучи цель, поставленную задачей. Не начинай решение вслепую. Выбери направления поиска плана решения, руководствуясь целью задачи;
3) при выборе направления поиска плана решения принимай во внимание:
а) то, что ты знаешь о ситуации, отраженной в задаче;
б) то, что ты умеешь и можешь делать в данной ситуации и что нужно делать;
в) то, что известно иеобще о связи данных и искомого;
г) то, о чем тебе говорит опыт в решении задач, похожих на данную.
Мы видим, что цель задачи выступает как главный ориентир направлении поиска решения. Понятно поэтому, что изучению цели следует уделять не меньше внимания, чем изучению условия; полезно детально изучать (анализировать) цель.