Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
Вы узнаете себя в одном из трех людей, когда вы решаете задачу?
Вернемся к решению поставленной выше задачи и будем поступать так, как поступает третий: наметим целесообразное (обнадеживающее) направление поиска.
Можем ли мы ошибиться? Можем, конечно. Но мы сделаем все, чтобы не ошибиться; даже если наши поиски не принесут успеха, это утешит нас. А не встречалась ли нам похожая задача раньше? Если бы это было так, опыт подсказал бы нам, что делать.
Вернемся к решению поставленной задачи. Для построения луча нам необходимо определить его направление. Вспомним, что мы знаем о направлении и способах его задания. Подумаем над тем, можно ли решить эту задачу с помощью преобразований плоскости. Может быть, полезно достроить данную фигуру до треугольника? Какие свойства треугольника нам известны? Отметим для себя следующее.
1) Направление задается лучом или парой точек.
2) Осевая; центральная симметрии, параллельный переносу гомотетия отображают прямую на параллельную ей прямую.
3) Средняя линия треугольника параллельна основанию, ее длина равна половине длины основания.
4) Биссектрисы треугольника (его медианы или высоты) пересекаются в одной точке.
Рассмотрим перечисленные положения по порядку: 1) слишком общие сведения, не подсказывающие способа решения задачи (все же запомним, что пара точек задает луч);
18
2) это утверждение полезно обдумать;
3) это полезно обдумать (правда, треугольник не задан, но его нетрудно построить);
4) это положение, наверное, будет полезно для решения задачи (известную точку С можно считать точкой пересечения биссектрис, медиан или высот треугольника).
Какие же линии треугольника могут пересекаться в точке С? Для построения биссектрисы нужно знать величины углов треугольника (они неизвестны); для построения медиан нужно знать длины сторон треугольника или иметь эти стороны построенными (однако вершины треугольника не определены, можно отметить лишь две из них, а третья — «недоступна»). Но из точки С можно опустить перпендикуляры на прямые а и Ь, а также на третью сторону треугольника, которую можно построить.
Итак, направление поиска выбрано разумно, если нам удастся достроить данную фигуру до треугольника (или необходимой его части). По существу у нас созрел план решения задачи.
Попытаемся претворить его в жизнь, считая точку С точкой пересечения высот треугольника. До практического построения додуматься нетрудно. Вот оно (рис. 7):
1) (CN) j_ a, (CN) П Ь = В;
2) (СМ) ± Ь, (СМ) П а = А;
3) [АВ];
4) [CP] ± [АВ];
5) [PC] — искомое направление.
Теперь остается только доказать правильность построения (но это вы уже сделаете сами).
Мы решили задачу! Но мы не только решаем задачи, мы учимся на задаче. (Вы не забыли об этом?) Посмотрим еще раз на саму задачу и на найденное нами решение. Ответим себе на следующие вопросы:
1) Какие геометрические знания и умения нам понадобились при ее решении?
2) Какой метод при решении задачи был основным?
3) В чем состояла основная трудность в поиске плана решения задачи?
4) Нельзя ли решить задачу иначе?
Продумаем вместе последний пункт. Мы выбрали направление поиска, учитывая утверждение 4 (см. с. 18). Однако утверждения 2 и 3 мы также признали полезными.
Вернемся к рассмотрению утверждения 2. Из известных нам преобразований гомотетия кажется предпочтительней, так как она задается своим центром и парой соответственных точек
Рис. 7
2*
19
(в качестве центра гомотетии можно принять недоступную точку D, а пары соответственных точек взять на прямых а и Ь).
План решения задачи практически готов. Решение задачи может быть таким (рис. 8):
J) Выберем произвольно точки Рис. 8 А и В (А ? а и В ? Ь). Пусть
С = (АС) П (ВС).
2) Пусть произвольная точка Л, ? а — образ точки А при гомотетии с центром D. Проведем (A1N) \\ (АС).
3) Построим отрезок АВ и проведем через точку At прямую .4,6,, параллельную прямой АВ, где В, ? Ь. Точка Вх — образ точки В при данной гомотетии.
4) Построим (ВгМ) || (ВС). Пусть С\ = (Л^) П (fliM).
5) Так как С\ — образ точки С при данной гомотетии, то луч ссх — искомое направление.
Закончено ли решение этой задачи? Конечно, нет. Необходимо еше доказать, что построение действительно привело к цели, подвести итог после этого решения задачи, посмотреть, нет ли еще какого-либо способа решить эту задачу, и т. д.
Поучимся тому, как начинать решение задачи еще на одном примере.
Рассмотрим задачу: «Построить угол, величина которого равна половине величины данного угла, не проводя биссектрису этого угла».
Попробуем начать решение (рис. 9):
1) Отложим | ОМ | = \0Н\ и проведем отрезок МН.
2) Разделим отрезок МН пополам (точкой К) и проведем ЮК) _|_ 1 ШН].
НОК = МОК = -^МОН, так как медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, одновременно является и биссектрисой угла при вершине.
Как будто 6bi задача решена? Увы! Здесь нарушено одно из условий задачи: мы все же провели биссектрису данного угла; мы провели медиану (или высоту) ОК, но ОК есть также и биссектриса,
