Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
1) Построить квадрат по данным четырем « серединам его сторон. i
2) Построить трапецию поданным четырем D серединам ее сторон.
3) Построить треугольник по данным двум
серединам его сторон. Рис- 26
4) Построить параллелограмм по данным трем серединам его сторон.
Как просто составлять задачи! Не так ли? И задачи-то все интересные и необычные. И как их здесь много! Вот сколько'«родственников» оказалось у нашей задачи с треугольнике!
Продолжим нашу работу по составлению задач, отправляясь от другой ситуации.
Перед археологами часто возникает вопрос: «Как экономичнее (без лишних затрат времени) провести раскопки сооружения квадратной формы по четырем сохранившимся колоннам (по одной на каждой стороне)?»
По существу перед нами реальная задача. Попробуем «перевести» ее на математический язык. Математически эта задача будет выглядеть так:
«Построить квадрат по четырем точкам, по одной — на каждой стороне квадрата».
Рассмотрим решение этой задачи (рис.. 26).
1) Соединим пары точек (М, N) и (К, Р) отрезками прямых.
2) Разделим эти отрезки пополам точками 0 и 0г и построим окружности (О, \0М\) и (0и \0гР\).
3) Разлелим пополам дуги этих окружностей, принадлежащие этому квадрату. Точки деления обозначим Т и S соответственно.
4) Построим прямую (ST), пересекающую окружности в точках В и D.
5) Строим искомый квадрат.
Попробуйте обосновать правильность построения.
Кстати, сколько решений имеет эта задача?
Теперь попытаемся составлять новые задачи, внимательно изучая условие и решение данной задачи. У нас уже есть опыт: полезно задавать себе различные вопросы, начинающиеся со слова «почему».
В условии данной задачи говорится о построении квадрата по четырем точкам, принадлежащим его сторонам.
1) Почему «квадрат» (а не другую фигуру)?
2) Почему «по четырем точкам» (а не по трем или двум)?
3) Почему по «точкам, принадлежащим каждой стороне» (а если не каждой, и вообще не на стороне)?
3 Заказ 580
33
4) Почему только по «данным точкам» (а не по сочетанию точечных, линейных и угловых элементов фигуры)? И т. д.
Проследите внимательно за возможными ответами на первое «почему?».
1) А нельзя ли построить по данным четырем точкам прямоугольник?
2) А нельзя ли построить по данным четырем точкам окружность? И т. д., ит. п.
А вот несколько ответов на второе и третье «почему?».
1) А нельзя ли построить квадрат по трем точкам, одна из которых является его вершиной?
2) А нельзя ли построить окружность по трем точкам?
3) А нельзя ли построить квадрат по двум точкам, принадлежащим двум сторонам и третьей, являющейся центром симметрии квадрата? И т. д., и т. п.
А теперь нам осталось только переформулировать свои ответы, придав тексту форму условия задачи.
1) Построить прямоугольник по четырем точкам (по одной на каждой стороне).
2) Построить окружность по четырем точкам.
3) Построить квадрат по двум точкам, лежащим на двух сторонах квадрата и третьей, являющейся его центром симметрии.
В самом деле, составлять задачи гораздо проще, чем их решать. Не так ли?
Рассмотрим теперь задачу о построении квадрата по трем точкам, одна из которых является его вершиной, а две другие лежат на его сторонах. Ясно, что придется рассмотреть различные случаи расположения точек (рис. 27).
Рис. 27
34
Рис. 28
Укажем цифрами порядок построения. Замечаем, что только во втором случае задача имеет бесконечное множество решений (т. е. существует бесконечное множество квадратов с тремя заданными точками).
Как сформулировать задачу так, чтобы она имела только единственное решение? Отметим для себя, что в третьем случае пара точек взята на сторонах, выходящих из заданной вершины. Значит, исключим этот случай.
Задача должна выглядеть так:
«Построить квадрат по трем точкам, одна из которых является вершиной квадрата, а две другие лежат на двух прямых, не выходящих из указанной вершины». Это уже новая задача.
Посмотрим теперь, как можно составлять задачи, изучая какой-нибудь раздел теории из курса математики. Допустим, мы изучили тему «Центральная симметрия». Мы познакомились с определением, свойствами этого понятия. Изучили ряд теорем, доказываемых с помощью центральной симметрии, научились строить центрально-симметричные точки, отрезки и вообще фигуры, применили свойство центральной симметрии для построения параллельных прямых.
В VII классе из множества геометрических фигур мы выделили такие, которые имеют центр симметрии (например, окружность, круг, параллелограмм, прямоугольник, ромб и квадрат).
Наличие таких фигур должно вас сразу навести на мысль: «А нельзя ли где-нибудь в жизни, на практике использовать это свойство?» Посмотрим на рисунок 28 и попробуем придумать игру, основанную на этом свойстве фигур.
1) Двое по очереди кладут на круглый стол пятикопеечные монеты. Монеты можно класть только на свободные места (так, чтобы они не покрывали друг друга даже отчасти). Сдвигать монеты с места, на которое они положены, нельзя. Предполагается, что каждый имеет достаточное количество монет. Выигравшим считается тот, кто положит монету последним. Как должен класть монету начинающий игру, чтобы выиграть?
