Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
Полезность проведения анализа цели особенно отчетливо можно проследить на решении геометрических задач. Пронаблюдайте за поиском плана решения следующей задачи.
Задача. Даны две прямые и окружность. Построить окружность, касающуюся данных прямых и окружности.
Изучим цель, представим требуемую ситуацию. Предположим, что окружность F1 — искомая, 0^ — ее центр (рис. 14). Так как Fi касается данных прямых /х и 1г, то Oi принадлежит биссектрисе угла, стороны которого принадлежат прямым /, и /2. М — точка касания окружностей. Но ведь тогда О и Ох являются соответственными при гомотетии с центром в точке М. Интересно, а в какую же точку отобразится точка Р при этой гомотетии? Оказывается, в точку пересечения касательных к данной окружности F, параллельных данным прямым, следовательно, М ? РР'. Тогда план решения нашей задачи ясен.
Проводим к данной окружности касательные, параллельные данным прямым. Прямая, содержащая точку их пересечения Р" и данную точку Р, пересекает данную окружность в искомой точке касания М.
Рис. 14
23
Центр окружности Fx есть точка пересечения прямой ОМ с биссектрисой угла между данными прямыми.
Осталось выяснить, сколько решений имеет эта задача. Подумайте, сколько?
Иногда полезно дополнить, видоизменить требуемую ситуацию, найти новые сочетания данных и неизвестных элементов. Например, задача «Доказать, что медиана треугольника делит угол на части, большая из которых прилежит к меньшей стороне» моментально решается следующим образом.^ ^
В А ЛВС т — медиана, а > р\ Доказать, что с <а (рис. 15). Цель: сравнить длины двух сторон с и а в зависимости от величин углов а и р\ Где удобно сравнивать? В треугольнике. Неплохо было бы получить тякой треугольник, в котором были бы и углы а и (3, и стороны а и с. Это сделать очень просто: пусть \0D\ = \0В\, тогда ABCD —параллелограмм. Почему? В A ABD против большего угла а лежит и большая сторона а, т. е. с < а.
Итак, анализ цели и связанные с ним видоизменения требуемой ситуации могут значительно облегчить попеки плана решения задачи.
Рис. 15
Задания для самостоятельной работы
Внимательно изучите условие задачи, выявите возможные направления поиска ее решения, оцените, какие из них заслуживают внимания и почему. Попытайтесь найти несколько способов решения задачи, действуя в выбранном направлении поиска.
3.1. В каком направлении должен лететь вертолет, чтобы держать под наблюдением одновременно две дороги?
3.2. При каких значениях а и b уравнение
а" имеет единст-
ве. 16
(х _ а)9 — (х — bf = венное решение?
3.3. Населенные пункты Л и В разделены двумя каналами, каждый из которых имеет параллельные берега. Где следует построить переправу через эти каналы, чтобы из пункта Л в пункт В можно было попасть кратчайшим путем?
3.4. Три квадрата расположены так, как показано на рисунке 16. Точка Е соединена с В, С, D. Доказать, что а + р4 + у = 90°.
24
Начать решение задачи с анализа цели. Видоизменить требуемую ситуацию (сделать дополнительные построения) и. этим путем прийти к решению.
3.5. Вычислить возможно проще сумму
6.6.66.6:6.6.6 "т z—- ~г ;гтг + г~г~г; + тттр + .- + ,п +
5-7 7-9 9-11 11-13 13-15 15-17 17-19 19-21
Начать решение задачи с анализа данных. Видоизменить данную ситуацию и этим путем прийти к решению.
§ 4. РЕШАЙ ВМЕСТО ОДНОЙ ЗАДАЧИ ДРУГУЮ
Рис. 17
Не правда ли удивительный совет? Прежде всего «другую» не означает «любую». Мы увидим, что вместо данной задачи бывает полезно решить родственную ей задачу. Давайте разберемся в том, какие «родственники» могут быть у некоторой задачи.
1. Задача. Найти множество точек, равноудаленных от двух пересекаю- й щихся прямых и удаленных на расстояние ' ' а от заданной точки 0.
Разберемся в условии задачи. Данная ситуация —рисунок 17. Требуемая ситуация — рисунок 18.
Из условия этой задачи легко обнаружить, что требуемая ситуация должна удовлетворять двум условиям:
1) искомые точки равноудалены от двух пересекающихся прямых а и Ь\
2) искомые точки удалены от данной точки 0 на расстояние d.
Теперь нетрудно усмотреть и составить две задачи, родственные данной (назовем их подзадачами и обозначим п. з.).
п. з. (1). Построить множество точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых.
п. з. (2). Построить множество точек, удаленных от данной точки 0 на расстояние d.
Каждая из этих подзадач, как и вооб- __{г
ще любая задача на нахождение множества точек, обладающих данным свойством, /, i состоит из двух частей. В первой опреде- I ляют фигуру, состоящую из множества Рис. 19
Рис. 18
¦25
Рис. 20
Х = {А,В,С,П)
Рис. 21
точек, обладающих данным свойством. Во второй доказывают, что каждая точка построенного множества обладает данным свойством.
Мы ограничимся здесь только первой частью задачи. (Вы же попытайтесь решить вторую.)
Решение п. з. (1). Точки, принадлежащие осям симметрии этих прямых, равноудалены от каждой из них. Мы видим, что искомое множество бесконечно (рис. 19).
