Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
8.14. Из одной точки вылетели три ласточки. Когда они будут в одной плоскости?
§ 9. КАК МЫ ДУМАЕМ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
Попытаемся теперь проследить за тем, как мы думаем, решая ту или иную задачу; тем самым мы будем учиться правильно мыслить. Итак, будем действовать и одновременно следить за собой. Возьмем какую-нибудь нестандартную задачу и начнем опыт. Нам нужно суметь не только решить эту задачу, но одновременно записать все наши мысли, связанные с попытками ее решения (удач-
47
ными или неудачными). Когда мы начнем эту работу, то убедимся в том, что это не так легко, как кажется на первый взгляд. Этому тоже нужно учиться.
Вернитесь к § 5, просмотрите еще раз ход рассуждений при решении задачи, которую задал Кащей Ивану-царевичу. Это один из примеров размышления в ходе решения задачи.
Рассмотрим еще пример. Расскажем о том, как один из вас наблюдал за самим собой и сумел не только решить задачу, но и рассказать о том, как он ее решил.
Задача. На плоскости проведено 100 прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей разделилась плоскость этими прямыми?
Итак, приступаем к решению и описанию процесса решения. Обозначим буквой п число прямых, буквой т — число частей плоскости.
Ход решения
Замечания
Рис. 47
1) Изучаю условие; попытаюсь изобразить хотя бы часть прямых, чтобы представить данную ситуацию (рис. 47).
«Никакие две прямые не параллельны», — значит, каждая прямая пересекается со всеми остальными 99-ю.
«Никакие три не проходят через одну точку», — значит, каждая прямая будет иметь ровно 99 точек пересечения с другими прямыми.
Условие проясняется, но данное число прямых (100) велико, изображать все прямые для подсчета частей плоскости очень долго. Надо искать закономерность (если она есть) увеличения числа частей плоскости в связи с увеличением числа прямых.
Рис. 48
48
Продолжение
Ход решения
Замечания
Рис. 49
Рис. 50
2) Приступаю к решению зада чи, начиная с простейших слу чаев.
Составляю более простую задачу: «На плоскости проведено 3, 4, 5,... таких прямых...) (рис. 48, 49, 50). п = 3, т = 7 (рис. 48), п = 4, т = 11 (рис. 49), п = 5, т = 16 (рис. 50). Проверяю себя: «=4,—значит, точек пересечения каждой прямой с другими должно быть 3 (рис. 49).
л
3
4
5
6
т
7
II
16
22
11
— 7 =
= 4
16
— 11
= 5
22
- 16 -
= 6
3) Составляю таблицу для числа прямых и соответствующего числа частей плоскости.
Замечаю, что каждое значение т отличается от предыдущего на соответствующее значение п.
По всей вероятности, при п = 100 соответствующее т будет больше предыдущего на 100.
Как обосновать эту гипотезу?
49
Продолжение
Ход решения
Замечания
Рис. 51
Рис. 52
Рис. 53
4) Рассуждаю: пусть при некотором числе прямых (п— 1) число частей плоскости равно т. Если добавить еще одну прямую, то она будет иметь (п—1) точек пересечения с каждой из (п — 1) прямых. Эта п-я прямая разделится (п — 1) точками на п частей, каждая из которых разбивает одну из имевшихся частей плоскости на две, т. е. к имевшимся т частям добавится еще п частей (рис. 51, 52, 53). р = 3, q = 4 (рис. 52), где р — число точек,
q — число частей прямой. р = 4, q = 5 (рис. 53).
р = п — 1, q — п. Значит, с добавлением одной прямой число частей плоскости увеличивается на получившееся число прямых.
Это уже интересно! Закономерность на:';дена: п = 7, т = 2'> + 7 = 29; п = 8, т = 29 + 8 = 37; п = 9, т — 87 • Ч .. 46; п = 10, т = 45 + 10 = 56 и т. д.
7
+ 4 = 11 + 5= 16 + 6 = 22 + 7 = 29 + 8 = 37
7=1+1+2+3
5) Но до п — 100 все равно долго считать.
Исследую подробнее эту закономерность.
Стоп!
Надо найти сумму:
7+4+5 + 6-1-7 f ...+99+100.
Представлю 7 в виде суммы последовательных чисел. Получилось очень красиво:
1 + 1+2+3+4+...+99+100.
50
Продолжение
Ход решения
Замечания
1 + 1 + 2 +3 + 4+...+49 + 50 + + 51 +...+ 97+ 98 + ?9 + 100 = = 1 + 100-49 + 50+ 100 = 1 + + 100 • 50 + 50 = 5051.
Итак, плоскость разделится 100 прямыми на 5051 часть.
6) Вычисляю:
(1 + 99 = 100 2 + 98 = 100 49 3 + 97 = 100
149 + 51 = 100
Задания для самостоятельной работы
Для того чтобы вам было легче наблюдать за собой, работу можно организовать так:
а) говорить вслух и записывать;
б) говорить вслух, попросив товарища записывать сказанное вами, не участвуя в работе;
в) если у вас дома есть магнитофон, использовать его!
Для проведения опыта выберите себе любую из трех данных задач (ту, которая вам покажется или более интересной, или более трудной) и решайте ее, ведя запись на листе, разделенном вертикальной линией (слева — процесс решения; справа — ваши замечания). Одну из задач можно решить (и описатыюдробно) всем классом. Выберите двух секретарей для ведения записи и приступайте.
9.1. Из города А в город В ведут две дороги одинаковой длины: через город X и через город Y. Дорога из X в Y через В короче, чем через город Л, и город Y ближе к А, чем к В. Сколько всего различных по длине участков между этими четырьмя городами? Расположить участки дорог между городами в порядке возрастания длины, начиная с самой короткой.
