Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Колягин Ю.М. -> "Учись решать задачи" -> 7

Учись решать задачи - Колягин Ю.М.

Колягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи: Пособие для учащихся VII— VIII кл. — М.: Просвещение, 1980. — 96 c.
Скачать (прямая ссылка): uchisy_reshati_zadachi.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 37 >> Следующая


2) Мы знаем, что нечетное число з общем виде можно записать так: 2п + 1 или 2п — 1. Нам лучше выбрать запись 2/1 + 1. Почему? Итак, нам нужно доказать, что 2п -Ь 1 = х2 — у'2, или х2 — — у2 = 2п + 1.

3) Начнем с того, что попробуем 2п + 1 представить в виде разности или суммы хотя бы одного квадрата и какого-то другого слагаемого. Для этого в числе 2п + 1 не хватает слагаемого п2, чтобы

15

оно стало квадратом суммы (2п — удвоенное произведение пи 1, 1 — квадрат другого числа).

2п + 1 = п2 + 2п + 1 — п2 =

= (п+ I)2 — п2. Задача оказалась уже решенной, утверждение доказано. Рис- Теперь можно даже без помо-

щи догадок установить вид разложения любого нечетного числа на разность двух квадратов, например:

а) 13 = 2 • 6 + 1 = 72 — б2 (п = 6);

б) 1427 = 2 ¦ 7 1 3 + 1 = 7142 — 7 1 32 (п = 713).

2.2. Прокомментируйте следующее решение задачи и вывод, который вы сделаете, решив эту задачу.

Построим прямую и два угла (рис. 5): прямой угол (Z. 1) и тупой (Z_ 2) — так, что отрезок прямой АС будет их общей стороной. На двух других сторонах углов отложим конгруэнтные отрезки [АВ\ и [CD] и соединим точки В и D. Ясно, что [BD] не параллелен [АС].

Через середины [BD] и [АС] проведем к этим отрезкам перпендикуляры до взаимного их пересечения в точке М (ведь \BD] не параллелен [Л С1).

Треугольник АМС равнобедренный, следовательно, |ЛУИ| = = \ СМ\; /- МАН ^ Z- МСН; А ВАМ ^ А ВМС (по трем сторонам). Следовательно,

ВАМ. = DCM, (1)

МАН = МСН. (2)

Складывая (1) и (2) почленно, получим: ВАН = DCH, т. е. 1 = 2. Получилось, что величина тупого угла равна величине прямого угла.

Решите каждую из предлагаемых далее задач и установите, чему вы научились в ходе их решения. Обменяйтесь мнениями с товарищами. Посоветуйтесь с учителем.

1 1

2.3. Найдите наименьшее значение суммы — Н--, если х, у —

х у

положительные числа и х + у = 6.

2.4. Значения переменных х, у, г положительны, х + у + z —

1 1 1

= 9. Найдите наименьшее значение суммы— + — -\--. Достаточ-

х у Z

но ли данных, чтобы решить эту задачу?

2.5. Докажите, что произведение любых четырех последовательных целых чисел, увеличенное на единицу, является точным квадратом.

16

2.6. Докажите, что числа вида т3 — т делятся на 3, если т ? N.

2.7. Понаблюдайте за равенствами

1-9 + 2 = 11, 12 • 9 + 3 = 111, 123 • 9 + 4 = 1111,

Как записать в общем виде этот закон, который в них проявляется?

Какую задачу можно сформулировать в связи с этим законом?

2.8. Используя любые учебники или задачники, отыщите «поучительную» (на ваш взгляд) задачу. Оформите решение этой задачи на отдельном листке, укажите, чем интересна данная задача; сдайте работу учителю.

§ 3. КАК НАЧИНАТЬ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

«С чего начать?» — думает каждый, приступая к решению задачи. Это очень важный вопрос в решении. Недаром говорит народная пословица: «Лиха беда — начало».

Мы увидим (да и сами вы убедитесь в этом), что правильное начало решения нестандартной задачи во многом определяет успех в ее решении.

Рассмотрим задачу: «В полной темноте парашютист приземлился в районе болота (в точке D). В каком направлении должен вылететь вертолет из пункта С за парашютистом, если а и Ь — лучи прожекторов и точка их пересечения D не видна из пункта С» (рис. 6).

Попробуем начать решение. Для этого «переведем» данную задачу на математический язык. Имеем две пересекающиеся прямые, D —точка пересечения. Построить луч CD, если точка D «недоступна».

Изучим внимательно условие задачи.

1) Построить прямую CD нельзя, так как положение точки D неизвестно. Значит, следует искать другие элементы для построения луча.

2) В школе мы обычно строим луч, если имеем дело с углом, треугольником. Для построения луча используем линейку, иногда циркуль.

Приступаем к началу решения. Поискам плана решения задачи должен предшествовать более общий этап решения — выбор направления поиска.

Многие неудачи объясняются тем, что начинают решение задачи Рис. 6

2 Зака» 589

17

наугад, на авось, и, хотя решение «лежит рядом», слишком много труда и времени затрачивается на попытки, уводящие в сторону.

Отвлечемся ненадолго. Представим себе темную комнату, из которой вам (с завязанными глазами) требуется найти выход. Посмотрим, как может вести себя человек- в такой ситуации.

Один будет «кидаться» из стороны в сторону, наугад и вряд ли скоро найдет дверь; он может найти окно и принять его за дверь (а на каком этаже комната?). Правда, игрою случая, он иногда сразу выскочит в дверь (бывает и такое!), сам не поняв, почему он так быстро нашел выход.

Другой попытается дойти до стены и, ощупывая стену рукой, будет двигаться вдоль стены; пока не дойдет до окна (и установит, что это не дверь), до двери. Это верный путь, хотя не самый короткий.

Третий будет поступать так. Он остановится и подумает над тем, чем он располагает для отыскания выхода (осязание, движение, слух, запах). Затем он прислушается (в стороне, где слышен шум, скорее всего окно или дверь), вдохнет воздух (там, откуда ощутим воздушный поток, окно или дверь; холодный воздух, вероятно, идет из окна, более теплый — от двери в коридор). После такой подготовки он двинется в том направлении, которое ему покажется наиболее обнадеживающим.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 37 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed