Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
Решение п. з. (2). Точки окружности удалены от точки О на расстояние а. Построенное множество бесконечно (рис. 20).
Теперь пора взяться за решение нашей задачи, здесь оба требования должны соблюдаться одновременно. Тогда искомое множество должно состоять как из точек осей симметрии, так и из точек окружности радиуса d. Находим точки их пересечения, это и будет искомое множество. Сколько решений имеет задача? (Не забудьте доказать, что построенное множество точек — искомое) (рис. 21).
Итак, мы познакомились с двумя задачами, составленными из данной—п. з. (1), п. з. (2). Данная задача разделилась на две более простые («дети» данной задачи).
Сформулируем очередной совет решающему задачу. Выявляй для данной задачи ее подзадачи и начинай решение этих задач.
Измени условие данной задачи, сделай его проще (реши «родственную» более простую задачу). Хорошо представив себе требуемую ситуацию, сделай чертеж, схему. Установи связи между данными и искомыми элементами, несмотря на то что в условии задачи ничего о них не сказано.
2. Если у данной задачи есть задачи-«родственники» типа «детей, братьев и сестер», то нет ли у нее «родственников» типа «родителей»? Рассмотрим задачу.
Задача. Делятся ли числа вида 123 123, 456 456, 130 130, 718,718, 257 257, ... на 13?
Это довольно трудная задача. Многие начинают ее решение с проверки данных чисел на делимость, с изучения каждого данного конкретного числа и, чаще всего, не находят решения. Между тем задача решается просто, если составить и решить задачу более общую, чем данная. Рассмотрев внимательно условие данной задачи, мы обнаружим, что все данные числа имеют вид abcabc. (Черта указывает на то, что в данном выражении буквы не рассматриваются как множители. Они являются цифрами. Например, запись а: ознччссг 1Эа + Ь.)
Теперь можно составить задачу, родственную данной.
п. з. Делятся ли числа вида abc abc на 13?
Для решения этой задачи достаточно увидеть, что число abc abc получается умножением числа abc на 1001 (попробуйте перемножить эти числа «столбиком»). Если не удалось догадаться, что abc abc = - 1001 ¦ abc, то можно обнаружить это так:
abc abc = а ¦ 105 + b • 104 + с • 103 + а • 10а + b ¦ 10 + с =. = 10* • 1001 • а + 10 • 1001 ¦ b + 1001_j_c = = 1001 (Ю0а + 106 -Ь с) = 1001 '• айс.
Но 1001 делится на 13, и потому произведение 1001 на любое число также разделится на 13.
Данная нам задача является частным случаем этой более общей (и, казалось, более сложной задачи).
Вот теперь мы познакомились с «отцом» или «матерью» данной задачи — с задачей более общей, для которой данная задача лишь частный случай. Очень часто более общая задача решается значительно легче данной конкретной задачи. Это мы видели на примере только что рассмотренной задачи. Приведем еще один пример. Вместо того чтобы решать уравнения типа х3 — Ъх + 6 = 0, х2 — 7х 4-+ 10 = 0 различными способами, выгоднее сразу решить уравнение х2 + рх + q = 0 (вывести формулу решения), а потом пользоваться найденным решением (формулой) в любых конкретных случаях. В этом лишний раз проявляются сила и могущество математики. Ведь чем менее конкретны данные, а следовательно, и ограничения для решения, тем свободнее выбор пути — способа решения.
Сформулируем очередной совет решающему задачу: Пробуй составлять и решать задачи более общие, чем данная, тогда данная задача будет частным случаем составленной и ее решение будет следовать из решения более общей задачи. Новая родственная задача часто лишь поначалу кажется более трудной. Ведь недаром говорят «клин клином вышибают».
Задания для самостоятельной работы
4.1. Решите обратную задачу: имея частные задачи, составьте основные.
Перед вами известные множества точек (рис. 22). Попробуйте сами составить задачи, комбинируя эти частные задачи.
4.2. Найдите множество точек, равноудаленных от данных четырех точек А, В, С, D (рис. 23).
Составьте к этой задаче родственные задачи типа «детей»; решите каждую из них, а затем найдите решение данной задачи.
4.3. Разрежьте треугольник на такие части, чтобы из получившихся частей можно было сложить прямоугольник.
Составьте к этой задаче родственные задачи типа «сестры —
27;
братья». Решите каждую из составленных задач. Помогли ли эти «родственники» справиться вам с основной задачей?
4.4. Найдите трехзначное число, которое от перестановки начальной цифры в конец числа увеличилось бы в пять раз.
Составьте к этой задаче родственные задачи типа «дети» и типа «родители». Решите их и дайте ответ на вопрос данной задачи. Какую задачу оказалось решить проще?
4.5. При снятии плана местности положение сторожевой вышки было определено следующими наблюдениями: а) вышка находится на одинаковом расстоянии от дороги и от озера; б) озеро видно с этой вышки под прямым углом.
Где расположить на плане эту вышку, если озеро и дорога уже нанесены? Прав ли был наблюдатель, ограничившись такими записями?
4.6. Используя любую литературу, подберите (или составьте самостоятельно) три задачи и к каждой из этих задач подберите родственные задачи различных типов. Работу выполните на отдельном листке и сдайте его учителю.
