Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
gi2 = 0 (71)
Если мы рассмотрим две бесконечно близкие координатные линии и ?, + ^g1 и две бесконечно близкие координатные линии и да + dqt, то эти четыре линии ограничивают бесконечно малый параллелограмм, который, очевидно, может быть по величине и направлению представлен вектором
dS -UA x^dfc- (IkxSiV9lrf9i =
I dr ^l1 I
= I HiX Wt r dqi dq2 = gdqi dq* a (72)
так что численное значение величины площадки дается формулой
dS = g dgidg, = V S11812 — gudqi dqt (73)
§ 19. Определение вектора по его вихрю и расхождению
1. Нашей главной задачей до сих пор было всестороннее изучение заданного поля скалярной величины <р или векторной величины а. Мы рассмотрели целый ряд различных дифференциальных операций, которые в том или ином отношении характеризуют данное поле. Так, например, рассматривая скалярное поле функции <р, мы ввели новый вектор grad <р, который наглядно показывает характер изменения ф. Точно так же, рассматривая поле вектора а, мы ввели ноный скаляр div а и новый вектор rot а, а также ввели понятие производной вектора по направлению и понятие градиента одного вектора по другому (v* V) а. Все только что указанные дифференциальные операции наряду с другими, которые мы рассматривали выше, являются в той или другой степени аналогом понятию производной в обыкновенном дифференциальном исчислении. Можно поэтому сказать, что до сих пор мы изучали дифференциальное исчисление в области векторных величин.
В настоящем параграфе мы будем решать задачу, аналогичную задаче интегрального исчисления. Иными словами, мы поставим себе задачу отыскания поля некоторого скаляра ф или вектора а, когда известно поле некоторых дифференциальных операций от этих неизвестных величин.
Отметим, что в § 12 нами уже решена одна ив задач такого рода: найти в некоторой области скалярную функцию ф, если для каждой точки этой области задан градиент этой функции, т. е. если нам известно, что
grad ф = а (1)
14 н. Е. Кочин 210
векторный анализ
Гл. II
где а — заданный вектор. Мы знаем, что для решения этой задачи необходимо, выбрав фиксированную точку Ma и соединив произвольную переменную точку M с точкой Mv кривой L1 лежащей в нашей области, составить криволинейный интеграл
M
ф (M) = 5 a-dr (2)
М„
Тогда, как было показано в § 12, функция (2) будет удовлетворять уравнению (1). По поводу этой задачи сделаем несколько замечаний.
Прежде всего заданный вектор а не может быть произвольным вектором. В самом деле, в силу того, что
rot grad ф = О
непременно должно быть
rot а = 0 (3)
т. е. вектор а должен быть безвихревым.
Далее, криволинейный интеграл (2) может оказаться многогначным, а именно, зависящим от пути интегрирования MaM. Однако это может случиться только в том случае, если та область, в которой мы рассматриваем вектор а (и в которой мы предполагаем как вектор а, так и его первые частные производные непрерывными), является миогосвязнон. Действительно, если область задания вектора а односвязна и если M0KM и MaLM —- два пути, расположенные в этой области и ведущие из точки Mo в точку М, то мы, очевидно, имеем
^ a-dr— ^ a-dr = 1J a-dr + ^ a-dr= ф a-dr
MJiM МД.М MaKM MLM, MtJLMLM.
ибо при пробеганин пути M0LM в противоположном направлении MLM0 криволинейный интеграл меняет свой знак. Путь MaKM можно непрерывным образом перевести в MaLM, ие выходя при этом ив пределов нашей области. Пусть S — поверхность, образованная последовательными положениями M0KM при только что указанном перемещении этого пути. Тогда по теореме Стокса и в силу (3) мы имеем
ф а - dr-= ^rotn a dS = О
makmljlf. s
Отсюда и вытекает, что
^ a-dr= ^ a-dr
М,КМ M..LM
Таким образом в случае односвязной области интеграл (2) не может зависеть от пути интегрирования. определение ввктора по его внхрю и расхождению
211
Рассмотрим теперь двуевязнуто область, например, внутренность тора (фиг. 64). По самому определению двусвязной области, в ней можно провести такое сечение D1 после которого область делается односвязной. В этой односвязной области интеграл (2) будет уже однозначным, обозначим его через
фо (M) = ^ a-dr
Фиг. 64
t,KM
где MoKM есть какой-либо путь, соединяющий точки Mo я M и лежащий в полученной односвязной области. Пусть теперь MaLM — любой путь в' нашей двусвязной области, например изображенный на фиг. 64. Тогда он может быть заменен следующим путем
MaLMKMa + MoKM Обозначим циркуляцию вектора а по контуру MaLMKМл через ц:
#
a-dr = ц
М.ШКМ.
Тогда мы, очевидно, получим, что
^ a-dr = H+ ^ a-dr = фо (M) 4- |А MtLAf м.км
Заметим теперь, что циркуляция [а будет одна и та же для всех замкнутых контуров, лежащих в нашей двусвяаной области, один и только один раз пересекающих сечение 2 в направлении, указанном на фиг. 64 стрелкой, ибо все такие контуры могут быть непрерывной деформацией переведены друг в друга, не выходя из пределов области. Если контур MoLM пересекает сечение ? два раза в направлении, указанном стрелкой, и не пересекает этого сечения в обратном направлении, то, как легко убедиться, окажется, что
