Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 75

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 144 >> Следующая


ДФ = р

что в требовалось доказать. Итак вектор

а (., у. 4 = - gradр ^ (60)

00

является решением системы уравнений

rot а = 0, div а = р (61)

7. Переходим теперь к нашей зторой задаче: решению системы

div а в» 0, rot а = м (62)

прячем, конечно, предполагается, что зектор ш удовлетворяет условию

div W = O

Кроме того, мы наложим на вектор а следующие ограничения: вектор ш (ас, у, х) есть непрерывная вместе со своими первыми частными производными функция всюду, за исключением, быть может, конечного числа поверхностей. На »тих поверхностях разрыва нормальная составляющая вектора W должна оставаться непрерывной, и только касательная составляющая вектора ш может терпеть разрыв. На бесконечности мы потребуем от вектора ш выполнения условия, аналогичного условию (33) для функции р, а именно

І-Я*+4® I < А прв R-" оо (63)

где О < X < 1, R = У X1 + у2 + г2 есть расстояние точки M, в которой берется значение ш, до начала координат и А — конечная величина.

1O» 228

векторный анализ

Fn. II

Из первого из уравнений (62) следует, что

a = rot А (64)

где вектор А, носящий название векторного потенциала, подлежит определению. Заметим теперь, что, не нарушая общности, можно считать, что

div А = 0 (65)

В самом деле, пусть мы нашли вектор Ai, такой, что а = rot Ai, но что div Ai Ф 0. Положим тогда, что

A = A,+ grad ф

Ясно тогда, что опять будет

rot А = rot Ai H- rot grad ф = roi Ai = а

div А = div Ai H- div grad ф = div Ai + Аф

и можно подобрать ф тая, чтобы

Дф = — div Ai

тогда, очевидно, будут удовлетворены как уравнение (64), так и уравнение (65). Второе уравнение системы (62) дает теперь

rot rot А = се

или в силу формулы (26) § 17

grad div А — ДА = ш

а в силу формулы (65)

ДА = — ю (66)

Таким образом, для определения А получилось векторное уравнение Пуассона, равносильное трем скалярным

Д^д. = — Oi11 AAu = — (ov, AA1 = — щ

решения которых даются в силу (49) формулами:

1 Г <аж(1. Т], QdV if Mm (g. Ч. _ і Г

Г— ¦ - 5Г J Г • ?

OO СО со

ИЛИ, в векторной форме,

(67)

OO

Проверим теперь, что найденный нами вектор А удовлетворяет условию (65). Вычисляем для этого

= = (68)

OO 09

Применим теперь формулу (56), положив в кей ф = , а = ы (?). § 19 определение вектора по его вихрю и расхождению

229

Так как переменной точкой считается Р, то вектор а должен считаться постоянным и значит divp а = 0; поэтому получим

divp = ш (Q) .gradр -І-

B силу формулы (54) эта формула принимает вид

divp^^= — ш (<>).gradQ-l. (69)

Применим теперь формулу (56), но в обратную сторону, а именно a-grad(jq> = divQ (фа) — ф divga

положив *в ней а = в» (<?), ф = — и считая уже переменной точку Q. Тогда получим, аамечая, что по условию divQ« (0 = 0,

• -grade 7-- dive, Сравнение с формулой (69) приводит нас к равенству

j. <И<?) J- ®(<?)

di v р — = — di Vo

г - F

а тогда из (68) получается, что

divp А « - ^ divo dV (70)

со

Нам нужно вычислить этот интеграл по всему бесконечному пространству. Но вычислим его сначала но объему Vr, заключенному внутри сферы Sr очень большого радиуса R; по формуле Гаусса Оетроград-ского имеем

^ divo dV = <§> tt^dS (71)

^b sr

(при этом, как асегда, нужно предварительно выделить точку P сферой 2 радиуса е и затем устремить & к нулю). По поводу этой формулы сделаем следующее замечание. Формулу Гаусса-Остроградского

t div a dV = andS (72)

v s

мы вывели только для того случая, когда вектор а и его производные непрерывны знутрв объема V. Но если объем V можно разбить на конечное число областей V1, Va.....Vk, ограниченных поверхностями Si,

Sа, . . . , Sjt, в каждой из которых вектор а н его производные непрерывны, то мы, очевидно, будем иметь

\ div a dV = \ div a dV + . . . + \ div а <Ш = ф andS + ... + ф OnflJS (73).

V v, vs s1 sfc 230

векторный анализ

Fn. II

Если I! — поверхность разрыва, лежащая внутри F1 то в сумму поверхностных интегралов (73) каждая часть такой поверхности разрыва войдет дважды: один раз как граница области Vb другой раз как граница смежной области Vj, причем направления нормалей дли »тих двух областей будут взаимно противоположны; в случае непрерывности нормальной к поверхности разрыва составляющей вектора а поверхностные интегралы по всем поверхностям разрыва, лежащим внутри V, сократятся, и формула (73) перейдет в (72).

Возвращаясь к формуле (71), заметим, что, по условию, на поверхности сферы i?r<u„ есть малая величина порядна —^x, -L есть величина по-

рядка -д-, поверхность сферы равна Anfis, следовательно, весь интеграл есть малая величина порядка и стремится к 0, когда R стремится

к бесконечности, поэтому распространенный по всему пространству интеграл будет равен нулю:

^ dive ~dV = О

OO

и значит

div А = О

Итак* решением системы уравнений (62) является

..^lotpJ-SJjtfE (74)

ОС

8. Если нам задано во всем бесконечном пространстве расхождение вектора а и его вихрь

div a = р, rot a = w (75)
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed