Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
ДФ = р
что в требовалось доказать. Итак вектор
а (., у. 4 = - gradр ^ (60)
00
является решением системы уравнений
rot а = 0, div а = р (61)
7. Переходим теперь к нашей зторой задаче: решению системы
div а в» 0, rot а = м (62)
прячем, конечно, предполагается, что зектор ш удовлетворяет условию
div W = O
Кроме того, мы наложим на вектор а следующие ограничения: вектор ш (ас, у, х) есть непрерывная вместе со своими первыми частными производными функция всюду, за исключением, быть может, конечного числа поверхностей. На »тих поверхностях разрыва нормальная составляющая вектора W должна оставаться непрерывной, и только касательная составляющая вектора ш может терпеть разрыв. На бесконечности мы потребуем от вектора ш выполнения условия, аналогичного условию (33) для функции р, а именно
І-Я*+4® I < А прв R-" оо (63)
где О < X < 1, R = У X1 + у2 + г2 есть расстояние точки M, в которой берется значение ш, до начала координат и А — конечная величина.
1O»228
векторный анализ
Fn. II
Из первого из уравнений (62) следует, что
a = rot А (64)
где вектор А, носящий название векторного потенциала, подлежит определению. Заметим теперь, что, не нарушая общности, можно считать, что
div А = 0 (65)
В самом деле, пусть мы нашли вектор Ai, такой, что а = rot Ai, но что div Ai Ф 0. Положим тогда, что
A = A,+ grad ф
Ясно тогда, что опять будет
rot А = rot Ai H- rot grad ф = roi Ai = а
div А = div Ai H- div grad ф = div Ai + Аф
и можно подобрать ф тая, чтобы
Дф = — div Ai
тогда, очевидно, будут удовлетворены как уравнение (64), так и уравнение (65). Второе уравнение системы (62) дает теперь
rot rot А = се
или в силу формулы (26) § 17
grad div А — ДА = ш
а в силу формулы (65)
ДА = — ю (66)
Таким образом, для определения А получилось векторное уравнение Пуассона, равносильное трем скалярным
Д^д. = — Oi11 AAu = — (ov, AA1 = — щ
решения которых даются в силу (49) формулами:
1 Г <аж(1. Т], QdV if Mm (g. Ч. _ і Г
Г— ¦ - 5Г J Г • ?
OO СО со
ИЛИ, в векторной форме,
(67)
OO
Проверим теперь, что найденный нами вектор А удовлетворяет условию (65). Вычисляем для этого
= = (68)
OO 09
Применим теперь формулу (56), положив в кей ф = , а = ы (?).§ 19 определение вектора по его вихрю и расхождению
229
Так как переменной точкой считается Р, то вектор а должен считаться постоянным и значит divp а = 0; поэтому получим
divp = ш (Q) .gradр -І-
B силу формулы (54) эта формула принимает вид
divp^^= — ш (<>).gradQ-l. (69)
Применим теперь формулу (56), но в обратную сторону, а именно a-grad(jq> = divQ (фа) — ф divga
положив *в ней а = в» (<?), ф = — и считая уже переменной точку Q. Тогда получим, аамечая, что по условию divQ« (0 = 0,
• -grade 7-- dive, Сравнение с формулой (69) приводит нас к равенству
j. <И<?) J- ®(<?)
di v р — = — di Vo
г - F
а тогда из (68) получается, что
divp А « - ^ divo dV (70)
со
Нам нужно вычислить этот интеграл по всему бесконечному пространству. Но вычислим его сначала но объему Vr, заключенному внутри сферы Sr очень большого радиуса R; по формуле Гаусса Оетроград-ского имеем
^ divo dV = <§> tt^dS (71)
^b sr
(при этом, как асегда, нужно предварительно выделить точку P сферой 2 радиуса е и затем устремить & к нулю). По поводу этой формулы сделаем следующее замечание. Формулу Гаусса-Остроградского
t div a dV = andS (72)
v s
мы вывели только для того случая, когда вектор а и его производные непрерывны знутрв объема V. Но если объем V можно разбить на конечное число областей V1, Va.....Vk, ограниченных поверхностями Si,
Sа, . . . , Sjt, в каждой из которых вектор а н его производные непрерывны, то мы, очевидно, будем иметь
\ div a dV = \ div a dV + . . . + \ div а <Ш = ф andS + ... + ф OnflJS (73).
V v, vs s1 sfc230
векторный анализ
Fn. II
Если I! — поверхность разрыва, лежащая внутри F1 то в сумму поверхностных интегралов (73) каждая часть такой поверхности разрыва войдет дважды: один раз как граница области Vb другой раз как граница смежной области Vj, причем направления нормалей дли »тих двух областей будут взаимно противоположны; в случае непрерывности нормальной к поверхности разрыва составляющей вектора а поверхностные интегралы по всем поверхностям разрыва, лежащим внутри V, сократятся, и формула (73) перейдет в (72).
Возвращаясь к формуле (71), заметим, что, по условию, на поверхности сферы i?r<u„ есть малая величина порядна —^x, -L есть величина по-
рядка -д-, поверхность сферы равна Anfis, следовательно, весь интеграл есть малая величина порядка и стремится к 0, когда R стремится
к бесконечности, поэтому распространенный по всему пространству интеграл будет равен нулю:
^ dive ~dV = О
OO
и значит
div А = О
Итак* решением системы уравнений (62) является
..^lotpJ-SJjtfE (74)
ОС
8. Если нам задано во всем бесконечном пространстве расхождение вектора а и его вихрь
div a = р, rot a = w (75)