Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
ства Г, исходя из которой была построена поверхность S. Составим теперь криволинейный интеграл от а по пути АА'В'ВА; он равен
ф &~dt = rot„ a dS
причем поверхностный интеграл взят по куску поверхности S, ограниченному контуром АА'В'ВА. Но ведь на всей поверхности S
rot„a = О
ибо зта поверхность состоит из вихревых линий, так что в каждой точке S нектор rota лежит в касательной плоскости к S. Итак
^ a-dr+ J ачіг -4- J a.tfr + J a-dr = 0 (111)
AA' А'В' B'B BA
Но по выбору линии А'В' мы имеем
\ &'dr = 0 (112)
ao
Далее, иа линиях AA' и BB' по самому определению вихревых линий вектор dt параллелев вектору rot а, последний же по условию перпендикулярен к вектору а, откуда вытекает, что Eia AA' и BB' вектор dt перпендикулярев к а, и, значит,
J a-dr = 0, ^ a-dr = O (113)
aa' BB'
Из сравнения (111), (112) и (113) следует, что
J a. <ir = О AB
для любого пути AB на поверхности S, что может быть только, если в каждой точке S вектор а направлен по нормали. Но тогда векторы а и grad Ц) коллинеарны и, следовательно,
а = ф grad ф
что и требовалось доказать.
Задача 137. Доказать, что всякий вектор а может быть представлен в форме
а = ф grad ф + grad х (114)
где ф, ф, X — переменные скалярные функции.
Для доказательства рассмотрим вихреные линии вектора а. Мы знаем, что поле вектора rot а соленоидально. Поэтому можно провести два семейства вихревых поверхностей (вихревой поверхностью называется поверхность, образованная вихревыми линиями)
Ф = const, ф = const (115) некоторые формулы o дифференциальными оперaqhhmh 193
тайим образом, чтобы интенсивность внхревой трубки, лежащей между двумя соседними поверхностями
Ф = const, ф = const (116)
и двумя соседними поверхностями
ф = const, ф + «?ф = const (117)
была равна как раз <Лр (ftp. Так как каждая вихревая линия лежит на одной из поверхностей ф = const, то непременно
rot a _|_grad ф
и точно так же
rot a _L grad ф
Отсюда вытекает, что. по направлению rot а совпадает с вектором
grad ф xgrad ф (118)
Но рассмотрим поперечное сечение вышеупомянутой бесконечно малой трубки, перпендикулярное к оси трубкн, и составим поток вектора rot а через это сечение. Вели расстояние между поверхностями (116) в рассматриваемом месте обозначить через (In1, а расстояние между поверхностями (117)—через dnt, то по определению градиента
IertdOl-St. IsradVli=S
Ёсли далее угол между поверхностями (115) в рассматриваемой точке обозначить через л, то поперечное сечение вышеупомянутой трубки будет представлять собою параллелограмм, стороны которого равны
(tat dnt
sin a sin а
a плошадь равна
_drtidtij
sine
с другой стороны
|йга0ф X grad | = [grad ф [ [grad ф | sin л - ^??^5- =
Отсюда следует, что поток вектора (118) через рассматриваемое сечение равен <ftp йф, так же как и поток вектора rot а. Поэтому, меняя, еще, в случае нужды, знак у ф, мы будем иметь
rot а = grad ф х grad ф (119)
Заметим теперь, что
rot (ф grad ф) = grad ф х grad ф (120)
и, следовательно,
rot (а — ф grad ф) =• 0 Отсюда сразу следует формула (114). 13 Н. EL Кочив 194
векторный анализ
Fn. II
§ 18. Криволинейные координаты
1. Как мы знаем, положение точки M в пространстве может быть определено ее радиусом-вектором г относительно некоторой неподвижной точки О. В прямоугольных декартовых координатах мы имеем для радиуса-вектора г выражение
r = a:i-f yj-f zk
Однако во многих задачах выгодно определять положение точки M не тремя декартовыми координатами х, у, г, а тремя другими числами Ii, ?з> 9s> более отвечающими рассматриваемой частной задаче. Мы предположим, кроме того, что, обратно, каждой такой тройке чисел ^1, qv qs отвечает свой радиус-вектор г и, следовательно, некоторая точка M (иногда приходится, как мы увидим на примерах, несколько ограничивать область иаменения переменных qx, qv q3).
Величины Cjr1, q„, qa называются криволинейными координатами точки М.
Так как всякой точке M отвечают три координаты q2, qu, то каждая из этих координат, например qu является функцией от радиуса-вектора г'
Яі(г) = Яі(х, У, г), q2(t)=qz(x, у, г), q3(r) = qa(x, у, г) (I)
Обратно, радиус-вектор г любой точки пространства, вполне определяясь заданием трех чисел ^1, q2, q3, является функцией от этих переменных: г (дг, ga, а, следовательно, и компоненты этого вектора х, у, z будут функциями от ft, qa, qa:
x = x(qlt ga, gg), y — y(q1, q2, qs), Z = Ziq1, Я* ?3) (2)
Поверхности уровня функции ?2 (г), т. е. поверхности
(г) — const
образуют некоторое семейство поверхностей. Рассмотрим еще два семейства поверхностей
g2 (г) = const, д3 (г) = const
Через каждую точку M пространства проходит по одной поверхности каждого семейства (фиг. 60). Назовем эти поверхности координатными поверхностями. Линии пересечения двух координатных поверхностей назовем координатными линиями. На координатной линии ^1, очевидно, меняется только координата , координаты же да и q3 сохраняют неизменное значение.
