Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Гл. II
Если принять a = Bj1 то получится формула
. 1 дB1 1 Afl1 J , „ w ,осч
rofceIHWlli--^ BjriIi=W1^ h^ (35>
Задача 144. Исходя из тождества Totgradgi = O, доказать формулы rot et — щ grad Hf X е< (« = 1, 2, 3) (36)
и, исходя из них, восстановить формулы (34).
Задача 145. Исходя иа тождества
div (еаХ O3) = es • rot еа — е2 • rot е3 и формул (36), получить формулы (31) и затем (30).
Задача 146. Вычислить rota в цилиндрических координатах. Ответ:
1 да, да9 rot. а =--------Tz
р 9 ds
(37)
і t>(pe„) 1 да. rot, а — т ----г
P д? р d<f
Задача 147. Вычислить rota в сферических координатах. Ответ:
1 д (в,, gin в) 1 да Г0 f а г sin в дд т sin в d<f
rot,a =' d^-I0JpL (38)
* г sin в df г дг
1 д{га ) 1 дат
rot а =--—S----зз-
1 г dr г m
Задача 148. Вектор -j, где г есть радиус-вектор, является соле-
новдальным вектором (§ 14) и, следовательно, может быть представлен в виде вихря некоторого вектора а (§ 16). Найти вектор а.
Указание. Воспользовавшись сферическими координатами, попробовать сделать предположение, что у вектора а отлична от нуля только составляющая а^. Ответ:
Г ^ п л 1 f («) — (M)S в
= rot а, где ar =0, а,=0, а„ = т ' ^sin 9-
Здесь /(<р)—произвольная функция.
г) Рассмотрим оператор Лапласа. Так как Д ф = div grad (J)1 то, воспользовавшись формулами (27) и (30), мы сразу получим выражение оператора Лапласа
Л|Ь_ і M /ВД , d ,H3H1 . і (B1B2 39
АЧ* — H1H2B3 I^1 V H1 dqi ) ^ Aj2 \ Ht dqt J^r д9з\ H3 dgJl ^ j криволинейны e координаты
203
Так, например, в цилиндрических координатах будем иметь а в сферических
ДЧ> = тг Kr' ?) +^ ^ (sin6S+ тате щг* (41)
Задача 149. Вычислить /\гт. Найти частное решение уравнения
1
Дф = 7
Ответ:
Arm = т (т 4- 1) Д (Ir) = у
5. Рааберем несколько задач на криволинейные координаты. Задача 150. Вектор а задан своими проекциями на оси сферических координат г, 0, <р:
2ACOSO AsinO „ .,п.
Or = —~ , а, = -J5-, я» = 0 (42)
где к — постоянное число. Выяснить, является ли вектор a потенциальным и если а = grad ф, то найти ф. Найти векторные линии вектора а.
Решение. Векторные линии вектора а нужно определять в криволинейных координатах из уравнения
dry. а = 0
которое в силу формул (19) и (11)
di = H1 dq-i ej + Нг dq^ е2 + H3 dq3 Єз, а = Ctie1 + O^es + ases приводит нас к равенствам
Л і dqi _ H1 dqt _ H% dq3
іOq Oa
В данном случае находим
dr _ rd9 _г sin 9 dtp
ИЛИ
dr___г СІ9 _ <<ф
2cos 9 — sin 9 — О
После интегрирования получаем следующие уравнения векторных линий:
Ф = Ci, г =Ci SinaB (43)
Составляя по формулам (38) rot а, убеждаемся, что rot а = 0, следовательно вектор а — потенциальный. Чтобы найти ф, составляем
, j , .„ . .Qj 2А cos 8 dr , к sin 9 ,/ксовЪ\
a.rtr = Ofdr + atrdb + «ц,г зш 9 Дф = -^3--1--^8 = ~ —^i-J 204
векторный анализ
Fn. II
Отсюда следует, что
a = grad (44)
Составляя по формуле (33) div а, легко обнаружить, что div а = 0, т. е. вектор а является также и соленоидальным вектором. Мы можем поэтому представить вектор а в форме
a = rot А (45)
Чтобы найти вектор А, воспользуемся формулами (38), причем примем Ar = 0. Тогда получим систему уравнений
2 к cos в 1 9 (Av siBfl) і aAt г» ~ т sia 0 dfl г sin в дф
Asin 8 __ 1 ^ 1 д(гАв)
Iа г дг ' т дг
Второе и третье уравнения этой системы дают
гАщ = + / (fl, ф), M4 = g (в, ф) где fug— произвольные функции Q и ф. Теперь первое уравнение дает
а[8іпа/(б,ф)і dg _ n de Эф —
и может быть удовлетворено, если взять / (в, ф) = g (9, ф) — 0. Итак
а = rot А где А есть вектор с составляющими
Ar= 0, Ae= 0, Av= (46)
Задача 151. Вычислить поток вектора а предыдущей задачи через поверхность полусферы г = R,
Ответ: S- ¦
л
Задача 152. Пусть шар радиуса R движется в однородной несжимаемой жидкости с постоянной скоростью с вдоль оси Oz. Найти движение жидкости, предполагая его безвихревым и считая, что на бесконечности жидкость покоится.
Решение. Мы знаем из § 15, что если движение несжимаемой жидкости происходит с потенциалом скорости, то
V = grad Ф (47)
причем
div V = 0 (48)
Заметны далее, что частицы, прилегающие к поверхности шара, будут скользить вдоль этой поверхности. Следовательно, скорость какой-либо криволинейны e координаты
205
из таких частиц относительно поверхности шара, т. е. v — ck должна лежать в касательной плоскости к поверхности шара, т. е. должна быть перпендикулярна к нормали а поверхности шара:
(V — ck) • п = О
Если теперь заметить, что нормаль к поверхности шара совпадает с радиусом шара, то легко получим, что (фиг. 63а)
с cos і
(49)
Фиг. 63а
Предполагая, что в рассматриваемый момент центр шара находится в начале координат, мы
приходим к выводу, что нам нужно найти в области вне шара такую функцию Ф, чтобы выполнялись равенства (47) и (48) и чтобы при г = R выполнялось равенство (49). Но вектор а задачи 150 как раз обладает такими свойствами, ибо, как мы видели, а — grad ф и dir а = 0, а при г = R мы имеем
