Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
в V
§ Дф Й- dS = J {(Дф)» + (grad ф -grad Дф)} dV (100)
S V
<? (ах grad ф)„ dS = J grad ф -rot a dV (101)
S V
Задача 130. Доказать, что если div а = 0, то
[ п.(rot аХ Да) OtSr = — ^ {(Да)" + rot а-Д rot a) dff (102)
S V
Задача 131. Доказать следующие формулы, являющиеся аналогичными формуле Стокса
фф dr = ^nxgrad ф^ • -ydS (ЮЗ)
ф фа-аїт — ^ {ф rot„a -J- (grad фха)„)dS (104)
с S
где п — единичный вектор нормали в точках поверхности S, опирающейся на контур С.некоторые формулы с дифференциальными операциями 189
Задача 132. Доказать формулу
^ udv «= J (grad BXgrad s)*n dS
(105)
где S — поверхность, опирающаяся на контур С, а — единичный вектор нормали к этой поверхности, и и у — две переменных функции точки.
Задача 133. Доказать справедливость следующего интегрального представления оператора Лапласа Дф:
где ф„ — значение функции ф в той точке 0, в которой вычисляется значение Дф, а фа есть среднее значение функции ф на сфере Sr радиуса Л С центром в только что указанной точке:
Для доказательства можно поступить, например, следующим образом. Обозначим черев <Ш телесный угол, под которым виден из точки О элемент dS сферы Sr. Подобно тому, как центральный угол, опирающийся на дугу длины I окружности радиуса г, измеряется в радианах величиной
получающейся от деления длины дуги на радиус окружности, телесный угол dQ, опирающийся на площадку dS сферы Sr, измеряется величиной
получающейся от деления величины площади dS на квадрат радиуса сферы, иными словами, измеряется величиной площади той части сферы единичного радиуса с центром в вершине телесного угла, которая вырезается этим телесным углом.
Ясно теперь, что
Дф = 6 Iim
н-н)
Ун~ Фо Я»
(106)
С другой стороны очевидно, что
Поэтому190
векторный анализ
Fn. II
Но мы можем написать, что если значение ф берется и точке сферы sB, то
ф_<р0 -$.?-*.
где интегрирование производится по радиусу, идущему из центра сферы. Поэтому
со о а
Но из формулы (21) следует, что
<J> ^rdS = V [(Дф)0 + е] = -Jiw3 Г(Дф)0 + е]
где е — бесконечно малая вместе с т величина. Поэтому (J)-JMn = -I Jlr 1(Дф)о + е]
sr
Следовательно,
a ян
1 Г
фв — cpo = "4jt ^ т каф)п + выг == j (дф)о ^rrfr + г edr =
о 6 о
где Єї — бесконечно малая вместе с В величина.
Формула (106) вытекает из полученной формулы, как непосредственное следствие.
Задача 134. Доказать, что если а — переменный вектор, численная величина которого всюду одинакова, т. е. | а | = const, то
(п-V) и — rot пхп (107)
Задача 135. Вычислить, чему равно
п-[grad (a-n) — rot (ахп)]
где а — перемепный вектор, an — единичный постоянный вектор. Ответ: div а.
Задача 136. Доказать, что необходимое и достаточное условие того, чтобы переменный вектор а мог быть представлен в форме
а = ф grad ф (108)
где ф и ф — переменные скалярные функции, состоит в выполнении равенства
a-rot а = 0 (109)j 17 некоторые формулы g дифференциальными операциями {91
Заметим, что если мы имеем поле вектора а, и если мы проведем поверхности
ф = const
то в каждой точке поля вектор а направлен по нормали к той поверхности этого семейства, которая проходит через рассматриваемую точку.
Для доказательства необходимости условия (109) составим rot а:
rot а = rot (ф grad ф) = ф rot grad ф + grad ф Xgrad ф =
= grad ф xgradijj (110)
Ясно, что полученный вектор перпендикулярен вектору а.
Докажем теперь достаточность условия (109).
Пусть имеем поле вектора а, удовлетворяющего уравнению (109). Возьмем какую-нибудь плоскость, тогда на ней, вообще говоря, можно провести семейство Г линий, в каждой точке которой касательная перпендикулярна вектору а.
Так, например, если мы возьмем плоскость Oxy и в ней какую-либо точку M и какую-либо кривую, проходящую через точку М, то условие того, чтобы единичный вектор касательной к этой кривой в точке M
dr _ dx . . dy .
"57 ~ -ST1 + Wi был перпендикулярен к вектору а, состоит в том, чтобы
ах dx + avdy = 0, Или ^ = —
а такое уравнение всегда может быть проинтегрировано, за исключением случая, когда в некоторой области рассматриваемой плоскости окажется Ox = Oy = 0, т. е. вектор а окажется как раз перпендикулярным к рассматриваемой плоскости. Но в этом случае можем исходить из другой плоскости.
Проведя теперь через все точки каждой линии полученного семейства вихревые линии вектора а, мы получим семейство поверхностей.
Пусть уравнение этого семейства поверхностей есть
ф (х, у, z) = COHSt
Докажем, что вектор а в каждой точке любой из этих поверхностей направлен по нормали к этой поверхности. В самом деле, рассмотрим определенную поверхность S и на ней произвольную дугу кривой AB. Покажем, что взятый по этой дуге криволинейный интеграл от вектора а равен нулю:
^ a.tfr = 0
AB
Действительно, проведем через точки А л В вихревые линии вектора а до пересечения в точках А' и В' с той линией вышеупомянутого семей-192
векторный анализ
Fn. II