Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве примера рассмотрим цилиндрические и сферические координаты. В цилиндрических координатах (фиг. 61) положение точки криволинейные координаты
195
определяется тремя координатами 5i = р, ft=«p и ?s = 2. Формулы (2) имеют вид
X = р cos <р, у = р sin ф, Z = Z (3)
Изменяя координату р от 0 до оо, координату ф от 0 до 2я, координату Z от — оо до + OQ1 мы получим все точки пространства. Координатными поверхностями являются
р — const — цилиндры с осью Oz qp = const — полуплоскости, ограниченные осью Oz Z = const — плоскости, перпендикулярные оси Oz
с
T---.
Координатными линиями являются: лучи, перпендикулярные оси Oz и начинающиеся на этой оси (линия р), окружности с центром на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных этой оси (линии ф), и прямые, параллельные оси Oz (линии z).
В сферических координатах (фиг. 62) положение точки определяется координатами qi = г, q» — 9 и Q3 = ф. Формулы (2) имеют вид
N
г \
tJf
'M
9> P
jc= г sin 6 cos ф, у = Г sin 9 sin ф, z = Г cos 0 (4)
Фиг. 61
Изменяя Г ot О до oq1 в от О до я и ф от О до 2я, мы получим все точки пространства. Координатными поверхностями являются
г = const — сферы с центром О
9 = const — полуконусы с осью Oz
ф = const — полуплоскости, ограниченные осью Oz
Координатными линиями янляются: радиусы (ливши г), меридианы (линии 9) и параллели (линии ф).
2. Возвращаясь к общим криволинейным координатам qu qt, qa, введем в рассмотрение еди-фиг 82 ничные векторы еь е4, ej, направленные по каса-
тельным к координатным линиям в точке M в сторону возрастания, соответственно, переменных qx, q2 и q3 (фиг. 60).
Рассмотрим теперь радиус-вектор г (qlt q2, q3) и составим производную -J-J-. Поскольку при дифференцировании q2 и qs считаются постоянными, годографом вектора г является координатная линия qlt а потому вектор -щ^- имеет направление касательной к ноординатной линии qL, т. е.
Hi
dt
где H1 — длина вектора -щ- .
13» 196
векторный анализ
Fn. II
Из предыдущего равенства легко выведен, в силу того, что Єї есть единичный вектор:
или, так как
где
Аналогичные рассуждения приводят к трем формулам:
го
Величины H1, H1 и H3 называются коэффициентами Ламэ.
Рассмотрим, с другой стороны, три вектора grad (і = 1, 2, 3)-Вектор grad д{ направлен но нормали к координатной поверхности qi — const; поэтому, если мы обозначим через ej* единичный вектор нормали к этой поверхности, направленный в сторону возрастающих значений qi, то мы будем иметь
grad qi = А(Єі* (і = і, 2, 3) (8)
где hi — длина вектора grad <?;. Очевидно, что
V - ferad = (?1 + (?)' + (V - ,, 2. 3) (9)
Величины A1, Aa и Zis называются дифференциальными параметрами первого порядка.
Покажем, что векторы grad qx, grad qz и grad <j3 образуют систему векторов, взаимных с , и . Для этого, согласно (19) §8, надо показать, что
grad qr -jL = 1
? (1°)
grad q^ 0 (іфк)
Но, умножая обе части равенства
d* Iql, q3) = + <Lq* + ^ dqs
скалярно на grad qit мы получим
dqi = grad qi-dr = (grad ft- dqt + (grad ft- -J^) + (grad ?,- dq3 откуда, в силу произвольности dqu dq2, dq3, сразу следуют формулы (10). криволинейны e координаты
197
Коренное отличие криволинейных координат от обычных прямоугольных заключается в том, что в криволинейных координатах направления векторов ej, &2, eg (а равно и ej*, е2*, е3*) зависят от того, для какой точки M эти векторы определяются.
Допустим, что мы рассматриваем в точке M вектор а; разложим его по трем некомпланарным векторам et, е3> е3:
а = вів! -H Oaea + ases (11)
Совершенно аналогично мы могли бы разложить вектор а по трем некомплаварным векторам C1*, е2*, е8*:
а = а^ъ* +- at*ea* + аа*е,,* (12)
Наиболее часто употребляют криволинейные ортогональные координаты. Так называются такие криволикейные координаты, координатные линии которых в каждой точке взаимно перпендикулярны. Очевидно, что цилиндрические и сферические координаты являются ортогональными.
Ясно, что для ортогональных криволинейных координат мы имеем равенства
6j* = Є{ (і = I1 2, 3} єі-є*=0, єі'-є/ — o (іфк) (13)
Поэтому, в силу (6) и (8), необходимые и достаточные условия для ортогональности криволинейных координат можно записать в одной из следующих двух эквивалентных форм
dt dt Эх дх , ду ду , дг dz „ ....
^4°? + ?+?? = 0 {іфк) (14)
или же
grad,,grad =?? + ??+?= О (ИН) (15)
Для ортогональных криволинейных координат между Hі и Ai существует весьма простая связь. В самом деле, в силу (13) мы имеем
grad qt = Ateil = #іЄ. а потому первая из формул (10) дает
Ai-S^ (i-1. 2,3) (16)
так что, в частности, имеем формулы
grad qt « jjj- (і = 1, 2, 3)
(17) J98
bbjttophbib анализ
Гл. II
3. В дальнейшем мы будем рассматривать исключительно ортогональные криволинейные координаты. Для таких координат разложения (11) и (12) совпадают
a = Ctje1 + а 2Є2 + ases (18)
Мы будем называть alt O3 и O3 криволинейными составляющими вектора а или же проекциями вектораа на оси криволинейных координат. Беря в частности за а вектор dr, мы получим
