Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 70

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 144 >> Следующая


? a-dr = фо (M) + 2ц

Af,LAi

Наиболее общим выражением для криволинейного интеграла по пути MoLM будет

и

( а • й?г = фо (M) + лц (4)

L

где я — целое число, положительное, отрицательное или нуль. Величина ц называется при этом циклической постоянной.

Если бы область была трехсвязной, то мы получили бы, что м

^ а - dr = фо (M) + ЛіЦі + д2ц2 (5)

м,

14- 212

анализ

Гл. !I

где Ці и ^lz — циклические постоянные, a Dl Eli — целые числа. Конечно, в некоторых случаях циклические постоянные могут обращаться и в Нуль.

Наконец, последнее замечание, которое мы сделаем относительно решения уравнения (1), таково. Общим решением уравнения (1) является

м

tp (M) = ^ а-оїг + С (6)

м,

где С — произвольная постоянная. В самом деле, составим разность

ф (M) = <р (M) —

гп 1

где ф — общее решение уравнения (1), тогда будем иметь

м

grad ф = grad ф — grad ^ a-<fr = а — а = О

М,

Отсюда и вытекает, что

ф = const

Задача 15&. Пусть вадаио ноле вектора а:

я__-4агу___ 2(1» —

а* ~ (^-^-2(^-1,*)+! * aV - {х* + у3)' - 2 (I2-ITi) + 1 '

а, = О

Выяснить, имеет ли уравнение grad ф = а решение и, если имеет, то найти ф. Ответ.

2V

* ^arc tS ,. + ,,S-I Две циклические постоянные, обе равные 2л.

2. Основным содержанием этого параграфа будет решение задачи об определении вектора а, если известны его расхождение div а и его вихрь

rot а.

Постараемся прежде всего выяснить, что именно нужно задать для того, чтобы можио было полностью определить вектор а.

Пусть мы имеем область V, ограничен-ную поверхностью S {фиг. 65).

Пусть во всех точках внутри этой области заданы расхождение и вихрь вектора а: diva = р(х, у, z) (7)

rot а = ы(х, у, z) (8)

Фиг. 6S

Пусть, кроме того, во всех точках поверхности 5 известны значения нормальной составляющей вектора а:

On = f (M) на поверхности 5 (9) § 19 определение вектора по его вихрю и расхождению

213

Докажем, что условиями (7), (8) и (9) вектор а определяется единственным образом, т. е. что не может быть двух различных векторов aL и аг, которые удовлетворяли бы всем условиям (7), (8), (9).

В самом деле, допустим существование двух векторов ах и а*, для которых

div ві = р, div az = р внутри V

rot = (о, rot a2 = <й внутри V

Дій — f (M), бзи = / (M) HS поверхности S Составим разность векторов а, и а2:

Ь = ах — а(

Тогда вектор Ь будет очевидно удовлетворять следующим условиям: div b = div ах — div а2 = р — р ±= О внутри V rot b = rot а, — rot а3 = о) — ад = О внутри V К = aln - а2„ = / (M) - / (M) = O в» S Так как rot b = 0, то b есть вектор потенциальный:

b = grad q) (10)

Но тогда условие div b — 0 дает нам, что

Дф = 0 внутри V (И)

условие bn = 0 на S приводит нас к равенству

g = 0 на 5 (12)

Применим теперь формулу (18) § 17:

\ ГфДф + (grad ф)Ч dV = § ф Jf dS (13)

V S

Ввиду условий (11) и (12) это равенство дает нам, что

^ (grad ф)2 dV = 0 (14)

v

grad ф = 0 (15)

Ь = 0 (16)

Следовательно, векторы а, и а2, удовлетворяющие условиям (7), (8) и (9), не могут быть различными между собой:

ai = а2

и, следовательно, т. е. по (10) 214

векторные анализ

Гл. H

При этом мы предполагаем как здесь, так и в дальнейшем, что область V может быть разложена на конечное число частей, в каждой ив которых функции р и ш равномерно непрерывны, так же как и их частные производные. Точно так же и об искомом векторе а мы будем предполагать, что сам он всюду непрерывен, а его производные могут терпеть разрыв только на конечном числе поверхностей. При этих условиях мы, очевидно, имеем полное право применять формулу (13).

3. Итак, мы должны решить следующую задачу; найти вектор а, удовлетворяющий системе уравнений

div а = р (х, у, z) внутри V

rot а = ш (ж, у, z) внутри V (17)

On »= / (M) на поверхности S

Заметим, что эта система не всегда имеет решение. Для возможности решения функции р (ж, у, z), «о (х, у, г) и / (M) должны удовлетворять некоторым условиям. В самом деле, мы имеем следующие тождества

div rot а = 0, ( div a dV = <?> a^dS

V 8

Подставляя сюда вместо rot a, div а и а» их значения, даваемые формулами (17), мы приходим к условиям

div » = 0, ? р dV = ^ f (M) dS (18)

V S

которым необходимо должны удовлетворять функции р, ю и /, для того чтобы система (17) могла иметь решение.

Ms будем решать нашу задачу в три приема. Сначала мы постараемся отыскать такой вектор ai, который удовлетворяет системе уравнений

div а! = р, rot а! = 0 (19)

Из последнего уравнения следует, что

ai = grad ф (20)

а тогда из первого уравнения получаем, что

Дф — P (21)

Уравнение (21) носит название уравнения Пуассона. В случае ограниченной области нам достаточно удовлетворить этому уравнению только в точках области V. Однако, решив уравнение (21) для случая всего бесконечного пространства, мы получим одновременно и решение для любой ограниченной области. В самом деле, если нам известны значения р только в точках области Vr, то мы можем произвольно их задать § 19 определение вектора по его вихрю и расхождению
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed