Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
? a-dr = фо (M) + 2ц
Af,LAi
Наиболее общим выражением для криволинейного интеграла по пути MoLM будет
и
( а • й?г = фо (M) + лц (4)
L
где я — целое число, положительное, отрицательное или нуль. Величина ц называется при этом циклической постоянной.
Если бы область была трехсвязной, то мы получили бы, что м
^ а - dr = фо (M) + ЛіЦі + д2ц2 (5)
м,
14-212
анализ
Гл. !I
где Ці и ^lz — циклические постоянные, a Dl Eli — целые числа. Конечно, в некоторых случаях циклические постоянные могут обращаться и в Нуль.
Наконец, последнее замечание, которое мы сделаем относительно решения уравнения (1), таково. Общим решением уравнения (1) является
м
tp (M) = ^ а-оїг + С (6)
м,
где С — произвольная постоянная. В самом деле, составим разность
ф (M) = <р (M) —
гп 1
где ф — общее решение уравнения (1), тогда будем иметь
м
grad ф = grad ф — grad ^ a-<fr = а — а = О
М,
Отсюда и вытекает, что
ф = const
Задача 15&. Пусть вадаио ноле вектора а:
я__-4агу___ 2(1» —
а* ~ (^-^-2(^-1,*)+! * aV - {х* + у3)' - 2 (I2-ITi) + 1 '
а, = О
Выяснить, имеет ли уравнение grad ф = а решение и, если имеет, то найти ф. Ответ.
2V
* ^arc tS ,. + ,,S-I Две циклические постоянные, обе равные 2л.
2. Основным содержанием этого параграфа будет решение задачи об определении вектора а, если известны его расхождение div а и его вихрь
rot а.
Постараемся прежде всего выяснить, что именно нужно задать для того, чтобы можио было полностью определить вектор а.
Пусть мы имеем область V, ограничен-ную поверхностью S {фиг. 65).
Пусть во всех точках внутри этой области заданы расхождение и вихрь вектора а: diva = р(х, у, z) (7)
rot а = ы(х, у, z) (8)
Фиг. 6S
Пусть, кроме того, во всех точках поверхности 5 известны значения нормальной составляющей вектора а:
On = f (M) на поверхности 5 (9)§ 19 определение вектора по его вихрю и расхождению
213
Докажем, что условиями (7), (8) и (9) вектор а определяется единственным образом, т. е. что не может быть двух различных векторов aL и аг, которые удовлетворяли бы всем условиям (7), (8), (9).
В самом деле, допустим существование двух векторов ах и а*, для которых
div ві = р, div az = р внутри V
rot = (о, rot a2 = <й внутри V
Дій — f (M), бзи = / (M) HS поверхности S Составим разность векторов а, и а2:
Ь = ах — а(
Тогда вектор Ь будет очевидно удовлетворять следующим условиям: div b = div ах — div а2 = р — р ±= О внутри V rot b = rot а, — rot а3 = о) — ад = О внутри V К = aln - а2„ = / (M) - / (M) = O в» S Так как rot b = 0, то b есть вектор потенциальный:
b = grad q) (10)
Но тогда условие div b — 0 дает нам, что
Дф = 0 внутри V (И)
условие bn = 0 на S приводит нас к равенству
g = 0 на 5 (12)
Применим теперь формулу (18) § 17:
\ ГфДф + (grad ф)Ч dV = § ф Jf dS (13)
V S
Ввиду условий (11) и (12) это равенство дает нам, что
^ (grad ф)2 dV = 0 (14)
v
grad ф = 0 (15)
Ь = 0 (16)
Следовательно, векторы а, и а2, удовлетворяющие условиям (7), (8) и (9), не могут быть различными между собой:
ai = а2
и, следовательно, т. е. по (10)214
векторные анализ
Гл. H
При этом мы предполагаем как здесь, так и в дальнейшем, что область V может быть разложена на конечное число частей, в каждой ив которых функции р и ш равномерно непрерывны, так же как и их частные производные. Точно так же и об искомом векторе а мы будем предполагать, что сам он всюду непрерывен, а его производные могут терпеть разрыв только на конечном числе поверхностей. При этих условиях мы, очевидно, имеем полное право применять формулу (13).
3. Итак, мы должны решить следующую задачу; найти вектор а, удовлетворяющий системе уравнений
div а = р (х, у, z) внутри V
rot а = ш (ж, у, z) внутри V (17)
On »= / (M) на поверхности S
Заметим, что эта система не всегда имеет решение. Для возможности решения функции р (ж, у, z), «о (х, у, г) и / (M) должны удовлетворять некоторым условиям. В самом деле, мы имеем следующие тождества
div rot а = 0, ( div a dV = <?> a^dS
V 8
Подставляя сюда вместо rot a, div а и а» их значения, даваемые формулами (17), мы приходим к условиям
div » = 0, ? р dV = ^ f (M) dS (18)
V S
которым необходимо должны удовлетворять функции р, ю и /, для того чтобы система (17) могла иметь решение.
Ms будем решать нашу задачу в три приема. Сначала мы постараемся отыскать такой вектор ai, который удовлетворяет системе уравнений
div а! = р, rot а! = 0 (19)
Из последнего уравнения следует, что
ai = grad ф (20)
а тогда из первого уравнения получаем, что
Дф — P (21)
Уравнение (21) носит название уравнения Пуассона. В случае ограниченной области нам достаточно удовлетворить этому уравнению только в точках области V. Однако, решив уравнение (21) для случая всего бесконечного пространства, мы получим одновременно и решение для любой ограниченной области. В самом деле, если нам известны значения р только в точках области Vr, то мы можем произвольно их задать§ 19 определение вектора по его вихрю и расхождению