Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Ф <«.*¦)(34) 218
векторный анализ
Fn. II
В этой интеграле
г = У(х -If + {у ~ Tl)2 + (Z- Qi
и интегрировать иадо по т) в Покажем, что функция (34) дает решение задачи.
В самом деле, если а = grad ф, то поток вектора через некоторую поверхность будет
^antIS = Limji'ei = Iimg Р (?t, Wi = ^pdV Но по теореме Гаусса — Остроградского
ф ап dS = ^ div a dV
8 V
Следовательно,
^ div a rfF = Sj р dV
V V
Беря за V бесконечно малый объем, найдем
div а = р
'[то и требовалось доказать.
Заметим, что при сделанных предположениях относительно функции р (ж, у, г) интеграл (34) сходится. На выяснении этого обстоятельства мы остановимся подробнее потом.
Итак, при сделанных предположениях относительно р, решением уравнения Пуассона
W= P (х, У, г) а вместе с тем и поставленной выше задачи, является:
Т 4л J г Полученное выражение
^Pd, Г). Z)dV
носит название объемного или Ньютонова потенциала и имйрт следующее физическое значение.
Если в начале координат находится масса равная т, а если в точке М(г) находится другая масса, равная т\ то, при надлежащем выборе единиц массы, длины я времени, сила притяжения второй массы к первой будет, согласно закону Ньютона представляться по величине и направлению выражением
р_ тт'\
Ia
Эту силу можно, как легко убедиться, представить в виде
F = grad ^L § 19 определение вектора по его вихрю и расхождению 219
Итак, сила притяжения но закону Ньютона имеет потенциал, равный
ЦТ __ тт'
г
Если притягиваемая масса равна единице, то для потенциала получается выражение
Y=-
T
Пусть теперь массы распределены непрерывно с плотностью р, тогда в элементе объема dV = d%dr\ dt, будет находиться масса р (?, т), ?) dV, и происходящий от этой элементарной массы потенциал в точке M (х, у, z) будет равен
где
Г = V(x - Di + (у- Л)» + (2 - O3
Производя интегрирование по всем массам, мы и получаем для потенциала притягивающих масс выражение
V {х, 4 = ^PiLJLM (35)
Итак grad T представляет силу, с которой массы, распределенные по всему пространству с плотностью р, притягивают единичную массу находящуюся в точке (х, у, z).
5. Теперь мы дадим более строгое решение задачи, поставленной в предыдущем пункте, для чего нам потребуется, однако, развить ряд формул, имеющих чрезвычайно большую важность.
В предыдущем пункте' была выяснена важная роль, которую играет функция —, где г есть расстояние между двумя точками P (г, y,z)
и Q (І, T1 ;Ъ: _
r = PQ=V(x-lY + {y-i\Y + (z-t)* (36)
Заметим, прежде всего, что эта функция — удовлетворяет уравнению Лапласа
Д = О (37)
Для доказательства достаточно применить формулу (41) § 18, выбрав точку Q (I, т|, Z) за начало сферических координат. Точнее было бы писать
А 1 81 /Mx /Чх3' 'iVn Ap T = IP" ("Г) + ф{т) + ЖЛ~) -0
чтобы отметить, что при дифференцировании считается переменной точка Р, точка же Q остается постоянной. Конечно, справедлива в друшя формула
^4-^(4-)+^(4-)+1,(4-)-° 220
векторный анализ
Гл. tl
в которой дифференцирование производится по т|, а точка P считается иеизыеииой.
Возьмем теперь формулу Грииа (20) § 17:
\ (ФДФ - ФДФ) cfF = § (Ф - фЩ AS (38)
V S
и применим ее к функции f (?, т|, ?), про которую мы, как всегда, будем предполагать, что оиа непрерывна вместе с первыми производными и что ее вторые производные могут терпеть разрыв только иа конечном числе поверхностей. За функцию же ф мы примем
причем X, у, Z мы рассматриваем, как параметры, переменными же считаем I, т|, так что в формуле (38) элемент объема есть
dV = dldf\dl.
Теперь иам необходимо различить два случая. Первым из них будет тот, когда точка P (а, у, z) лежит вне объема V. В этом случав функция —, рассматриваемая как функция точки Q (|, т), Q, будет непрерывной и будет удовлетворять уравнению (37). Поэтому формула (38) дает нам
Рассмотрим теперь второй случай, когда точка P лежит внутри объема V, В этом случае мы ие имеем права применять формулу (38), так
как функция — , рассматриваемая как функция переменной точки Q, обращается в бесконечность при совпадении QcP.
Чтобы избежать этого неприятного обстоятельства, мы выделим точку P малой сферой 2 с центром в точке P и с радиусом е, который мы затем устремим к 0 (фиг. 66). Применим теперь формулу (38) ие к области V, а к области Vc, получающейся из V путем выкидывания сферы радиуса в с центром в точке Р.
Так как объем Vt ограничен ие только поверхностью S, но и поверхностью 2, то поверхностный интеграл в формуле (38) будет теперь состоять из двух частей.
К объему V формулу (38) применять можно, так как для него точка P является уже внешней (точка P лежит внутри поверхности S, но вне объема V1, так как оиа вместе со своей окрестностью не принадлежит этому объему). § 19 определение вектора по его вихрю и расхождению
221
Пользуясь опять формулой (37), получим
vt s б
Теперь устремим 8 к нулю и посмотрим, во что перейдет в пределе полученная формула. Отыщем прежде всего
a-f^a«
