Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
о Ix V А = - M р(1, QdV - _ A-C р(|. Л, /49
Ф У' ] 4nI ' ^n ^ Vix — ?)' + (у — + — D8 (
Но так как мы не анаем наперед, имеет ли уравнение (48) решение, то нужно проверить, что функция (49) действительно удовлетворяет уравнению (48).
Заметим прежде всего, что если мы имеем Ньютонов потенциал, распространенный по некоторой области V, конечной или бесконечной
?(*, у. ,!«jjpS-'bP" (50)
V
то в точках вне объема V выполняется уравнение Лапласа
ДТ = 0 (51)
В самом деле, если точка P лежит вне объема V, то г в интеграле (50) не обращается в нуль, и, следовательно, можно производить дифференцирование под знаком интеграла по х, у, z; в результате получим
ApyP-] P (Б. ч, ОДPTdv
V
откуда, в силу (37), вытекает (51).
Рассмотрим теперь тот случай, когда точка P лежит внутри объема V, яря чем предположим, что функция р (5, TJ, О) непрерывна вместе со своими первыми частными производными в этом объеме V.
Вычислим, чему равно ДрТ = div grad Составляем прежде всего
grad р 1P = ^ р grad я ~ dV (52)
причем заметим, что поскольку переменной считается точка Р, функция р при» указанном дифференцировании принимается за постоянную.§ 19 определение вектора по его вихрю и расхождению 2і5
Если мы будем считать радиус-вектор г направленным от точки Q ¦(?, і], С) к точке P (х, у, г):
г = QP
то мы будем иметь
J 1 Г
gradP т = - рг
Заметим теперь, что существует простая формула
1 1 grad р т = — grado — (54)
в самом деле, в правой части этой формулы мы считаем в г переменной уже точку Q, а не точку Р, и, следовательно, точни PaQ должны у нас поменяться местами, т. е. мы должны иметь
, і PQ grad Q — = --0-
то и получается формула (54). (52), которую можно, в силу (53), написать
gradp Y= -J^rfr (55)
v
необходимо сделать следующее замечание.
Подынтегральная функция в интеграле правой части обращается при г = О в бесконечность, так что этот интеграл принадлежит к числу несобственных интегралов; однако, этот интеграл сходится, так как подынтегральная функция будет при г —* О бесконечно большой второго порядка, а известно, что объемные интегралы сходятся, если подынтегральная функция обращается в бесконечность порядка ниже третьего (считая г бесконечно малой первого порядка).
Однако дальнейших дифференцирований по точке P под знаком интеграла мы уже не имеем права производить, так как при атом подынтегральная функция сделается бесконечно большой третьего порядка, и интегралы перестанут сходиться.
Мы поступим иначе. В силу (54) перепишем формулу (52) следующим образом
grad я 1F = — Ї р grade у dV
V
Применим теперь формулу
Ф grado^ = graded — ф grade ф положив в ней ф = р, ф = — ; в результате получим
grad*. xV = — ^gradg---<27 H- ^gradg р dV
V V
QP г»
(53)
и так как PQ=- QP, По поводу формулы в виде
15 и . Е. Кочпв226
векторный анализ
Fn. II
Заметам затем, что по обобщенной формуле Гаусса-Остроградского J gradQ і dV = S^-dS + § J^ dl
Vt SB
и в иределе прв 8 — 0
Cgrad Q^dV =§ ^dS V S
Поэтому мы получаем представление grad 1F:
gradр Y = — § ^dS -ьС ^gradl3 рdV
а V -
в виде суммы потенциала простого слоя и объемного потенциала. Теперь мы можем составить ДФ:
AfjT= divpgradP Y= - j>divp р(Q)°(Q> dS + j divp(|-gradQP)dV
V
Применим затем формулу
div (фа) = ф div a + grad ф - а (56)
При этом мы должны векторы р (0 а (Q) и grade P считать постоянными (так как они не зависят от точки Р); поэтому
divp-^H.= gradpy .pn = — gradQ-J- .pn = - p-J^-L
div р (-LgradQ р^ = gradр -L -gradQ р = — gradQ -L .gradQ p
В результате иы получаем
Ap^r =iIfP-IrTtis-S g'adQ-L-gradQpciF (57)
s V
Чтобы иайти значение правой части этой формулы, мы должны провести рассуждение, совершенно аналогичное тому, которое было проделано при выводе формулы (43), но только должны исходить не иа второй формулы Грина (38), а ив первой формулы Грина
^ (ФДф -H grad ф • grad ф) dV =» фф^аК
V S
Полагая в этой формуле ф = -L и применяя ее к объему Ve (фиг. 66), иы найдем формулу (при этом точка P считается неподвижной, так что все дифференцирования происходят по точке Q):
5 grad ф-grad-L dF = (§ф Jr-LdSo tip «деление вектора по его вихрю и расхождению
227
Производя переход к пределу при е —> 0 и пользуясь формулой (42), найдем, что
4яфр = ^ grad Q ф. grad у— ^ ф ~dS (58)
v s
Полагая в этой формуле ф = р, мы и получим из (57) формулу
Ap1F=-4ярр (59)
определяющую значение Д1F в точке Р, лежащей внутри объема V.
В случае функции (49) областью V является все бесконечное пространство. Возьмем любую точку Р, з окрестности которой функция р непрерывна вместе со своими первыми частными производными; тогда пусть Fi — объем, принадлежащий этой окрестности в заключающий точку Р, a Vt — вся остальная часть пространства. Вводя обозначения
(ж, z)_ С Ptt-IbP* , ?а г) .С Ptt-IbO^
v, V,
будем иметь ApTi = — 4лрр в силу (59) и ДрЧ*г = Ob силу (51). Складывая два полученных равенства, найдем формулу