Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
так как на сфере S мы имеем г = в, а площадь всей сферы равна 4леа, то ?
и значит
Iimflgd2 = O (41)
u
Чтобы найти предел
Иш <6<р S- — 42
.-Ц) Г г
заметим, что когда точка Q находится на сфере то внешняя к объему V1 нормаль к 2 будет направлена противоположно направлению радиуса вектора г (отложенного от точки P к точке г = PQ). Поэтому
— -L= _-I-L = -L
вв Г _ дг г ~~ г* и так как на поверхности 2 мы имеем г = г, то мы находим, что
E S
По теореме о среднем это выражение равно
= P(fPbi4jle2 ~ 4я(4>)<з.
2
где Qi есть некоторая точка сферы 2, и tpg, означает значение функции ф в точке Qx- Когда а —>• 0, то точка Qi —» Р, и поэтому получаем, что
f 3 1
Iim ф d2 = 4лфр (421
Наконец, интеграл в левой части формулы (40) в пределе переходит я Iim§ ^dK 222
векторный анализ
Fn. II
поэтому из формулы (40) путем предельного перехода 8 — 0 и простых алгебраических преобразований мы выводим формулу
+ЦтЪ"-Цкт^ <«>
Первый член правой части называется, как мы знаем, объемным потенциалом; интеграл типа
J2ISULQds
я
носит название потенциала простого слоя, наконец, интеграл типа
S P<6.
s
носит название потенциала двойного слоя. Таким образом формула (43) дает представление любой функции ф (непрерывной вместе со своими первыми л вторыми производными) в виде суммы трех потенциалов: объемного, простого слоя и двойного слоя.
Бели при г —» оо, т. е. при беспредельном удалении точки на бесконечность, функция ф стремится к нулю и притом так, что на сфере Sh радиуса R с центром в начале координат выполняются неравенства
IgradipK5^3t. ІФІ < (44)
где к — есть некоторое положительное число, то формула (43) принимает более простой вид
Oo
В самом деле, примем в этом случае за S сферу Sr радиуса R с центром в начале координат и устремим затем R к бесконечности. Тогда, так как при неподвижной точке P мы, очевидно, имеем, что
Iim ~ = 1
R-^coti
то, как легко убедиться,
sR Sr
Отсюда следует, что
lim = lim &<f4-~dS = О
Ьв ь я
Замечая еще, что
15m С ASL^=C u!Ldv й-«0 Д г J г
легко выведем из (43) формулу (45). § 19 определение вектора по его вихрю и расхождению 223
Возвратимся опять к формуле (43) и предположим теперь, что функция ф есть функция, удовлетворяющая в области V уравнению Лапласа:
Дф = 0, (46)
Такие функции называются гармоническими (при этом предполагается, конечно, что функция ф непрерывна выесте с ее первыми в вторыми производными). В этом случае в формуле (43) пропадает объемный потенциал, и мы получаем представление гармонической функции
S .4
в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя.
Эта формула полностью определяет значение функции ф внутри области V, если на границе зтой области известны значения функции ф и ее нормальной производной.
Однако, обычно бывают известны или значения только самой функции на поверхности S (задача Дирихле) или же только значения ее нормальной производной (задачз Неймана).
Таким образом знание только формулы (47) не позволяет нам решить ни задачи Дирихле, ни задачи Неймана.
Отметим здесь, что задание функции ф на граничной поверхности S, области V полностью определяет гармоническую функцию ф внутри этой области. Доказательство совершенно аналогично доказательству теоремы единственности в п. 2.
В самом деле, если фі и фг — две гармонические в области V функции (так что Дфі = 0, Дфа = 0), принимающие на поверхности S одинаковые граничные значения (так что фі = фа на S), то функция ф = фі — ф5 будет гармоническая функция (ибо Дф = 0 внутри V), для которой на поверхности S окажется ф = 0. Но тогда из уравнения (13) вытечет равенство (14), откуда, в свою очередь, будет следовать, что grad ф = 0 и значит ф = const. Но так как на поверхности S функция ф обращается в 0, то ясно, что ф = 0 всюду внутри V. Итак, внутри V будет фг = ф2.
Точно так же задание нормальной производной дф / дп на поверхности S определяет гармоническую функцию ф с точностью до постоянной. 6 самом деле, если фі и фа — две гармонические функции, имеющие на поверхности S одинаковые нормальные производные, то функция ф = фі — ф2 есть гармоническая функция, для которой ду/дп = 0 на поверхности S. Но тогда нз формулы (13) следует (14), а из последней вытекает, что grad ф = 0и значит ф = const. Итак, фі— фг = const.
Заметим, наконец, что для случая всего бесконечного пространства, гармоническая функция ф, удовлетворяющая на бесконечности условиям (44*, тождественно обращается в нуль.
В самом деле, при выполнении условий (44) справедливо равенство (45), из которого следует, что фр = 0, ибо гармоническая функция ф удовлетворяет уравнению Дф == 0. 224
векторный анализ
Fn. II
6. Возвращаемся теперь к вашей основной задаче. Нам нужно найти потенциальный вектор
a = grad <р
расхождение которого всюду известно и удовлетворяет указанным в начале п. 4 условиям
div а = р
Иными словами, нам нужно решить уравнение Пуассона
Дф = р (?, у, z) (48)
Если это уравнение имеет решение и притом удовлетворяющее условиям (44), то согласно формуле (45), зтим решением может быть только Ньютонов потенциал
