Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
di = ^dq1 + dqt + щ- dq3 — H1 dq, е, + Ht dqt ег + Н% dqs ъ (19) так что составляющими вектора dr являются
dsi = Hi dqt (і = і, 2, 3) (20)
Возвышая обе части равенства (19) в квадрат н замечая, что
(dr)2 = ds*, Єі8 = 1, = 0 (і Ф к), получим для квадрата длины элемента dr формулу
ds* = HW1 + Htd? + Hldql (21)
Пусть dr = MN, где N — бесконечно близкая к M точка; проведем через JV три координатных поверхности, которые вместе с тремя координатными поверхностями, проходящими черев точку М, образуют криволинейный бесконечно малый параллелепипед. Очевидно, ребрами этого параллелепипеда будут служить
ds1 — Hidqlt dst = Htflqt, dss = H3dqa (22)
но тогда грани его будут иметь величины
da, = H2Ha dqsdq3, doa = H3Hjdqgdq1, dc3 = H1Htfiqjdqt (23) а объем его будет равен
dV = H1HzHtfdq1Clqtflq3 (24)
Приведенными в этом пункте формулами очень удобно пользоваться для нахождения коэффициентов Ламэ.
Так, например, легко видеть, что в цилиндрических координатах ребрами бесконечно малого криволинейного параллелепипеда являются
dSj = dp, — pdtp, ds3 = dz
Сравнение с формуламв (22) показывает, что для цилиндрических координат
Яр =1, Hv= р, H1= 1 (25)
Точно так же для сферических координат имеем
dsx = dr, dsj — г dB, dss = г sin 0 dq> криволинейные координаты
199
и Поэтому
Br = 1, Ht = г, fff=rsm9 (26)
Задача 138. Найти коэффициенты Ламэ для цилиндрических и сферических координат но формулам (7).
4. Для того чтобы пользоваться криволинейными координатами, нужно уметь выражать в этих координатах все основные векторные операции.
а) Начнем с рассмотрения grad f. Мы, очевидно, имеем (§ 12, задача 89) grad <f Oj1, q2, <?3) = grad -J1 grad «г+^ grad «?3 и, воспользовавшись формулами (17), сразу получим
и-ad V = ^iI 4-^(27) graa <9 —B1 Hqy-jTgi dq^H3 dg3
Этот же результат можно получить иначе; в самом деле, проекцией grad ф на ось q( криволинейных координат по самому определению является ^jE , но в силу ds( = Stdqi мы имеем
ITi-WtIf1 = 2, 3)
т. е. те же самые выражения для проекций grad что и в формуле (27).
Задача 139. Доказать формулу (27), показав, что
Задача 140. Вычислить grad ф в цилиндрических координатах. Ответ:
grad*=,e4+^-H.-g (28)
Задача 141. Вычислить grad ф в сферических координатах. Ответ:
иаНф-е (29)
grad<j> — вг Jr-Tyм^гзіпв Ap ^ '
б) Рассмотрим diva. Очень удобно для вычисления diva в криволинейных координатах применить формулу § 14:
Im-S
div а = Iim —у—
7-м)
ваяв за V объем бесконечно малого криволинейного параллелепипеда (фиг. 63), одной из вершив которого является та точка М, в которой ищется значение div а. 200
векторный анализ
Гл. tl
Грань MM1N1Ms этого параллелепипеда имеет величину da1 — S= H^Hadqtfiqt', нормальная к этой грани составляющая вектора а равна—а, (мы считаем, что MM1 направлено в сторону возрастающих значений ql, внешняя же нормаль к рассматриваемой грани направлена в противоположную сторону), поэтому поток через грань MM2N1Mt будет равен — UiH2HsdqaClqs. Противоположная грань MiNaNNi отличается от грани MMtNlMs только тем, что ей отвечает значение -+- dq^ координаты qlt значения же других координат на этих двух гранях одни и те же. Поэтому
H3 поток черев грань MlNiNNi будет равен -----К
Ia1HtHs + <Ц dq2dq3
Складывая его с предыдущим выражением, получим для потока через две грани MM1NiMt и M1NaNN2 выражение
и аналогично для потока через грани MMlN3Mt и MtN3NN1
^gP dqidqsdq* и через грани MM1N3Mt я MxNtNN1
I(O3H1B3) dqidgidq3 Складывая все три выражения, получим полный поток
j>andS
s
Деля его на объем параллелепипеда V = H1H3H^qjdqtdq3, получии окончательно
-KBBpsSfii+aSai+sj^aI »
В частности мы получаем формулы
div с 1 д (B3B3)
ЗіНьВь Oqi
dive.= 1 OWoBQ
^ H1HtHi dqt Ai^c 1 Э (H1H3)
div є» = M1HiB3. а9з (31>
Задача 142. Вычислить div а в цилиндрических координатах. Ответ;
1 і Зв_ За криволинейны e координаты
201
Задача 143. Вычислить div а в сферических координатах. Ответ:
1 д(г*аг) 1 д (Sinea9) 1
+ -_- + r8in0_
в) Рассмотри» rot а. Применим формулу § 16
$
rot- а = lim —
8-н> л
Чтобы получить проекцию rot а на координатную линию qx, нужно взять за С контур MAfaZV1M8; площадь бесконечно малого криволинейного прямоугольника, ограниченного этим контуром, равна, как мы знаем,
Gtoi — HtHt dqadq3 Нетрудно далее вычислить a-<fr, взятый но замкнутому контуру MMiNxMs. Прежде всего
•dx = Otfisi = OtHtfiqt
Mli,
Далее,
^ a-<ir mjv,
отличается от предыдущего интеграла только тем, что в нем координата qt имеет другое значение qa dqa, значения же других координат те же, что и в интеграле
^ a^r
мм,
Поэтому
\ a.rfr = Uff, + aj^dqA dqi Точно так же можно вычислить
5 a-rfr - OsHtfiqa, J a-aar = L3H3 + ^^ «Ц dq3
MM. M,Ht *
Поэтому
§ ••*- S + 5 - S - 5-f^-'W)^
UMJitMtM MMt MtЧ, M1N1 мм.
Деля это выражение на dax, мы и получим требуемое выражение 202
векторный анализ
