Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
215
вне области V (например положить равными нулю). Решив уравнение (21) для всего бесконечного пространства, мы получим функцию <р, которая всюду, а в частности и в точках области V, удовлетворяет уравнению (21).
Итак, нам нужно будет решить уравнение Пуассона (21) для случая бесконечного пространства.
На втором этапе решения нашей задачи мы будем отыскивать такой вектор аг, который удовлетворяет скстеме уравнений
div a* = 0, rot Bt = w (22)
Из первого из этих уравнений следует, что
a2 = rot А (23)
Тогда ив второго уравнения (22) получается, что
rot rot А = to
Применяя формулу (26) в § 17, найдем, что
grad div А — ДА = ш (24)
Мы увидим, что, не нарушая общности, можно будет принять
div А = О
Тогда уравнение (24) приводится к виду
ДА = — «в (25)
Это векторное уравнение разбивается на три скалярных уравнения
AAx = — OJac, ДА„ = — OJv, ДА, = — а», (26)
где шх, cuv, (ог — известные, a Aj.. Ayt At — искомые функции. Урав-ненвя (26) являются уравнениямЕ Пуассона, так что мы сможем перенести те результаты, которые будут нами получены прв решении уравнения (21), и на случай векторного уравнения Пуассона (25). Для случая бесконечного пространства вектор
a = a, -I-B4
будет, очевидно, в силу (19) в (22) удовлетворять обоим уравнениям
div а =• р, rot а = «
В случае конечной области И мы вычислим значения нормальных составляющих векторов а і и аг на поверхности Si
«ш = U (M) «а, - /г (M)
и составим затем функцию точки поверхности S:
h (M) = / (M) — (Af) —ft{M) 216
векторный анализ
Fn. II
Третьего частью решения нашей задачи будет тогда отыскание такого вектора аз, который удовлетворяет системе
div аз = 0 внутри V
rot аэ = 0 внутри V (27)
O3n - U (M) на S
Из второго уравнения этой системы следует, что
а3 = grad ф (28)
а тогда из первого уравнения мы получим, что
Дф = О (29)
так что ф удовлетворяет уравнению Лапласа. Последнее из условий (27) в силу (28) приводит нас к равенству
-gjj- = /а (M) на поверхности S
Определение функции ф, удовлетворяющей уравнению Лапласа, а у которой нроиаводная но нормали на заданной поверхностн S принимает заданные значения, называется задачей Неймана. Эта задача имеет чрезвычайно важное значение в гидродинамике. В вадаче 152 мы имели как раз гидродинамический пример, приводящий, как легко убедиться, к задаче Неймана.
Итак, на третьем этапе решения нашей задачи нам нужно будет решить задачу Неймана. Отметим попутно, что аналогичной задаче Неймана является так называемая задача Дирихле, состоящая в определении функции ф, удовлетворяющей уравнению Лапласа (29) и принимающей заданные значения на поверхности S:
ф = / (M) на поверхности S
Мы имели пример решения задачи Дирихле в задаче 154, относящейся к области теории теплопроводности.
Легко теперь видеть, что в случае конечной области вектор
а = аг -I- а, а3
будет удовлетворять всем уравнениям системы (17) и, в силу теоремы единственности, будет единственным решением этой системы.
4. Переходя к решению первой из трех стоящих перед нами задач, мы дадим сначала простое, имеющее фиаический характер, но в некоторой степени нестрогое решение этой задачи.
Итак, нам нужно найти поле потенциального вектора
= grad ф
(30) § 19 определение вектора по его вихрю и расхождению
217
зная во всякой точке пространства его расхождение
div а = р (z, у, г) (31)
где р (х, у, z) — заданная непрерывная вместе со своими первыми производными (кроме, быть может, конечного числа поверхностей) функция. Как мы видели, эта задача эквивалентна решению уравнения Пуассона
Дф = р (х, у, Z) (32)
Заметим, что мы всегда в случае бесконечной области будем предполагать, что функция р (а;, у, г) очень быстро делается очень малой, когда расстояние R = V я3 + у2 + Zs точки M от начала координат делается очень большим. А именно, мы будем предполагать, что при R — оа величина R2+x^, где X есть положительное число, лежащее между 0 и I, остается ограниченной
<1 А при R —*¦ оо (33)
где А — конечная величина 0 < % < 1.
6 § 14 мы нашли решение рассматриваемой задачи в том частном случае, когда расхождение всюду равно нулю, аа исключением п точек Mu Mt, . . . , Mn, в которых находятся источники с обильностями «і, . . . , вп, причем для функции ф мы нашли выражение
п
Ц>г{х,у, г) = -2-^jri
ГДе ri — расстояние от точки M (х, у, а) до точки Mi (Iil тц, ^1), т. е.
Ti = Vix- + (у - T1Os + (а - ь)1
Мы показали далее, что в этом случае поток вектора а = grad 91 через всякую замкнутую поверхность S равен сумме обильностей тех источников, которые лежат внутри поверхности
(^anAS =
s
Чтобы подойти к решению нашей задачи, разобьем все пространство на малые объемы Vi, возьмем в каждом по точке Mi (I1, %, Q и поместим В Afi ИСТОЧНИК C ОбиЛЬНОСТЬЮ et = Ftp (g4, Tlt, Si)-' Тогда функция
»(*, у, z) = -g Vi
даст приближенное решение задачи. Перейдем к пределу, устремив все объемы Vi к нулю; для ф получится выражение
