Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Мы всегда будем предполагать, если только не сделано особой оговорки, функции векторного аргумента непрерывными, т. е. будем считать, что разности <р (г 4- Д«1) — <р (г) или а (г +- Дг) — а (г) могут быть сделаны по модулю сколь угодно малыми при достаточно малом Дг.
2. Для наглядности представления- имеет большое значение графическое изображение полей. Пусть мы имеем дело со скалярным полем, так что нам задана функция <р (г) или что то же, функция <р (х, у, г). Если нам задано нестационарное поле, то мы рассматриваем его в определенный момент времени. Пусть в некоторой точке Ma (г0) функция «р (г) принимает значение <р0 = <р (га). Отметим все точки, в которых значение 102
векторный анализ
Гл. Il
функции равно tp„. Эти точки, вообще говоря, заполнят некоторую поверхность или несколько раздельных поверхностей, которые называются поверхностями уровня или изоповерхностя ми (фиг. 43). Их уравнение в декартовых координатах, очевидно, имеет вид:
Ф {а:, у, г) = const
Например, на синоптических картах таким образом наносятся изобары. т. е. линии уровня для скалярного поля давления (линии, потому что здесь рассматривается двумерное пространство — поверхность земли).
При атом изобары наносятся обычно через каждые 5 миллибаров (единицы давления), так что ряд по-\ следовательно идущих изобар отвечает значениям CJb-J ) ) 1000, 1005, 1010, 1015 и т. д. миллибаров.
Если аналогичным образом провести поверхности уровня функции ф (г), отвечающие равноотстоящим значениям функции, то получится картина, указывающая уже ряд свойств изучаемой функции.
Фиг. 43 Так, например, места сближения двух последова-
тельных изоповерхностей указывают на быстрое изменение здесь функции, причем очевидно, что это ивменение происходит в направлении, перпендикулярном к изоповерхности, в то время как при перемещении вдоль самой поверхности значение функции совсем не меняется.
3. Рассмотрим теперь векторное поле. Введем для наглядного изображения его векторные линии, т. е. такие линии, во всякой точке которых вектор имеет направление касательной к линии. Приближенно мы можем построить эти линии следующим образом. Выберем какую-нибудь точку поля и отложим вдоль отвечающего этой точке вектора отрезок весьма малой длины е; с концом этого отрезка поступим совершенно таким же способом и будем продолжать таким образом даль- фиг- 44
ше; в результате получится ломаная линия, Которая
тем ближе будет представлять нашу векторную линию, чем меньше взято е, и при бесконечно малом е, т. е. в пределе, перейдет в саму векторную линию (фиг. 44).
Возьмем на векторной линии какую-нибудь точку M (г), единичный
dt
вектор касательной к векторной линии есть ^, но по условию вектор а в точке M тоже должен касаться векторной линии, следовательно, два
dt
вектора а и коллинеарны, а значит
dr
ds
Xa = O
или, умножая на ds,
гіг X а = 0
(І) (2) градиент-. его свойства
103
Это есть дифференциальное уравнение векторных линий а векторной форме.
Если составляющие вектора о (г) суть ах(х, у, г), Оу(х, у, г) и аг[х, у, z), то условие (2) параллельности касательной к векторной линии и самого вектора приводит к дифференциальным уравнениям векторных линий:
dx_dy_dz
~ «V ~
Интегрирование этих уравнений введет две произвольные постоянные, так что мы получим двупараметренную совокупность векторных линий.
Однако задание векторных линий и ориентировка их дает нам только направление вектора во всякой точке поля, величину же вектора мы должны графически изобразить каким-либо другим способом. Можно, имея в виду, что величина вектора есть скаляр, рассматривать наше векторное поле еще как скалярное поле модуля вектора и построить соответствующие изоповерхности IZr ах2 + ау2 + агг = const. Но можно поступить иным способом, a именно, характеризовать величину вектора густотой проводимых линий. При этом густоту линий мы должны измерять, проводя через каждую точку маленькую ортогональную к линии площадку, отсчитывая на ней число пересечений ее векторными линиями и относя это число к единице площади. Нужно отметить, что, вообще говоря, придется часть линий заканчивать внутри поля, а часть начинать внутри его. Мъг впоследствии укажем то условие, при котором этого явления не будет.
3 адача 85. Найти векторнне линии для векторного поля а = .
Ответ. Прямые линии, проходящие через начало координат.
Задача 86. Найти векторные линии для случая векторного поля а = с X г, где с — постоянный вектор.
Ответ. Окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к прямой, проходящей через начало координат и имеющей направление вектора с; центры этих окружностей лежат на этой прямой.
§ 12. Градиент. Его свойства. Линейный интеграл.
Потенциал
1. Мы рассмотрели выше вопрос о дифференцировании вектора по скалярному аргументу. Вопрос о дифференцировании по векторному аргументу гораздо более сложен, особенно в случае векторного поля.
Рассмотрим скалярное поле функции (р (г) = <р (х, у, г). Выберем некоторую точку поля M (г); проведем через нее какую-либо прямую и обозначим через з единичный вектор, направленный по этой прямой. Возьмем на этой прямой соседнюю с M точку M' (г + єз), где є = MM' — бесконечно малая величина; при переходе от M к M' функция q> приобретает приращение Atp = <р (M') — <р (M) = <p (г + ss) — <р (г). Составим, 104
