Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
векторный анализ
Гл. Il
дф
как это естественно сделать, отношение и переидем к пределу, устремив (к O1 полученный предел назовем производной (р по направлению S в точке M и обозначим через :
|Ф= Um <f(M')-j{M) Ф(г + es) — ф (г) (1)
ds иг-н) мм E^o «
Знание производной^ для любого направления s позволяет вычи-' слить во всех точках, соседних с точкой М, значение функции ф с точностью до членов второго порядка малости.
Для вычисления JS введем систему координат X, у, г а заметим, что единичный вектор S имеет составляющими
sx = cos (s, я), Sy = cos (s, у), sz = cos (s, г) (2)
Поэтому
ф (Г + BS) — ф (г) = ф (х + є cos (s, х), у + 8 COS (s, у), Z + є cos (s, г)) —
— <р(*. у. z)
Эту разность можно рассматривать, как сложную функцию s. Разложим ее в ряд Тейлора по возрастающим степеням г, причем ограничимся членом, содержащим первую степень е:
ф (г + es) —Ф (г) = 8 cos (s, х) +^COS (s, 2/) + 1?-COS (s, z) + TlJ
где т) — бесконечно малая величина (как мы условились уже раньше, мы будем всегда считать все вводимые производные существующими и непрерывными).
По разделении на е и переходе к пределу, мы получим требуемую формулу
ІГ = Ш cos (s' ^ + STcos (s' У) + 5TC0S*S' ^
Заметим, что эту же самую формулу мы получили бы, если бы при определении производной ~ мы брали соседнюю с M точку M' не на луче, проходящим через точку M в направлении s, а на какой-либо кривой ML, касательная к которой в точке M имеет направление s. Обозначая через S длину дуги, отсчитываемой по этой кривой от точки М, мы будем иметь, что функция ф (aj, у, z) будет сложной функцией OT S через посредство X, у, z; по прапилу дифференцирования сложных функций . мы получим
д/р д<р dx і dy , &<Р dl ds Эх ds ду ds дг ds
. и так как
dx , , dy , у di ,
= COS (s, X), -f- = cos (s, у), — = cos (s, градиент. его свойства
і 05
то опять получается соотношение
Ir = Iiir 008 (s' х) + W 005 (s' ^ + ^rcos г>
Но вспомним правило преобразования составляющих вектора а (формула (1) § 4):
а, — a* cos (s, х) 4- Oy cos (s, у) + аг cos (з, г) (4)
Отсюда видно, что если мы определим вектор, составляющие которого по основным ортам суть , , , то его составляющая по любому
направлению s будет .
Назовем этот вектор градиентом <рв точке M и обозначим символом grad <р. Его составляющие
gradx? = , gradBq> = , grad^ = , grad, ф = (5)
Таким образом
= (6)
Этот вектор, конечно, не зависит от выбора системы координат х, у, z, так как его составляющие по любому направлению были нами определены непосредственно.
Величина grad ф, очевидно, равна
^=YiWfHWfHWf m
Производвая по любому направлению s равна проекции grad ф на это направление, следовательно
= S-grad ф = I grad ф | cos (grad ф, s) (S)
Из этой формулы видно, что достигает наибольшего значения для направления s, совпадающего как раз с направлением grad ф, причем это наибольшее значение равно величине grad ф. Поэтому мы можем дать другое определение градиента:
Градиентом ф называется вектор, имеющий направление быстрейшего увеличения ф и по величине равный производной по этому направлению. Из других обозначений градиента ф укажем, как наиболее употребляемое, V ф, где знак V читается «набла».
При этом обозначении мы будем иметь
+ (9) 106
векторный анализ
Гл. Il
Ив этой формулы видно, что V можно рассматривать, как дифференциальный оператор
+ Ь
dz
(10)
Фиг 45
который, будучи применен к скаляру <р, дает grad (р. Этот оператор, который можно рассматривать также как символический вектор, будет нами в дальнейшем рассмотрен более подробно. Его называют иногда оператором Гамилыпона.
Проведем через точку M поверхность уровня функции <р и докажем, что вектор градиента ф направлен по нормали к этой поверхности уровня
в точке M. В самом деле, так как на поверхности уровня ф— const, то производная по всякому направлению s, лежащему в касательной плоскости к поверхности уровня в точке M, равна нулю, следовательно, для всякого такого направления по (8)
cos (grad ф, s) = 0
что может быть только, если grad ф перпендикулярен к поверхности уровня в точке M-Далее очевидно, что grad ф направлен в ту сторону нормали, куда ф возрастает.
Связь между градиентом функции ф и производной от ф но различным направлениям имеет очень простое геометрическое истолиование.
Проведем через точку M (фиг. 45) поверхность уровня ф = const, к этой поверхности уровня восставим в точке M нормаль MN и отложим но этой нормали вектор MN = grad ф. Построим далее на MN, как на диаметре, сферу и рассмотрим какой-нибудь луч Ms, проходящий через точку M в имеющий направление а. Пусть этот луч пересечет сферу в точке К. Так как угол при К в Д MNK есть прямой (по известному свойству окружности), то MK является проекцией MN на направление М$\ но проекция grad ф на какое-либо направление есть производная ф по этому направлению, следовательно, мы получаем, что
MK=P-
Ss
Если бы луч Ms' не пересекал сферу, то, продолжив его в другую сторону, мы нашли бы точку К' и получили бы, что
