Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
j
ту — WV« = J F dt (60)
t,
Интеграл от силы F по времени, т. е.
f
I = J F dt
и
называется импульсом силы F за промежуток времени г — г0.
Формула (60) выражает закон количества движения, геометрическое приращение количества движения точки аа некоторый промежуток времени равно импульсу свлы, действовавшей на точку, за тот же промежуток времени. Фиг. 42 дает геометрическое выражение формулы (60).
Фиг 42 92
векторный анализ
Гл. Il
Задача 71. Доказать, что если кривизна равна нулю, то кривая есть прямая.
По условию ^ = 0. Из формулы (37) выводим
? = 0 as
Следовательно, интегрируя, имеем
а = ^ = а — const, а — 1
de
Интегрируя еще раз, получим
г == as + е, с = const А это есть уравнение прямых линий.
Задача 72. Доказать, что если кручение равно нулю, то кривая есть плоская.
По условию ^r = 0. Из формулы (37) выводим
IM
ds
Следовательно,
b — я = const, а = і Но так как b перпендикулярно к а, т. е. Ь - о = 0, то
а-и = a- = 0
ds
Отсюда, интегрируя
а - г = т
А это есть уравнение плоскости,.в которой и должна лежать кривая. Задача 73. Написать уравнение соприкасающейся плоскости в точке M (г0).
Обозначим переменный радиус-вектор точки плоскости через г; так как соприкасающаяся плоскость перпендикулярна к бинормали, то ее уравнение есть
(г — го) • b = 0
нли, так как Ь=вХп,
(г — Го)-(в хп) = 0 Это можно записать в координатах в форме • определителя
= 0
X — X0 V — Vo z —
dx dy dz
ds ds ds
d*y d*z
ds1 ds> dt2 5 9 ПЕРЕМЕННЫЕ ВВКТОРЬІ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ СКАЛЯРНОГО АРГУМВНТА 92
Задана 74. Определить кривизну и кручение винтовой линии.
Найдем сначала уравнение винтовой линии. Пусть винтовая линия нанесена на цилиндр радиуса ос с осью z и пусть высота каждого витка винта равна 2 яА, тогда можно взять за уравнение винтовой линии г = о cos / і + о ain t j + ht к
В самом деле, о (i cos f + j sin г) представляет вектор длины а, лежащий в плоскости ху и составляющий с осью X угол t; вектор же ht к параллелен оси Z и тоже пропорционален t, поэтому при развертывании боковой поверхности цилиндра в плоскость каждой абсциссе at будет отвечать ордината ht, так что мы получим прямую линию с углом наклона arc tg . Это есть угол подъема винта.
Прежде всего мы должны ввести в качестве независимой переменной длину дуги 5. Если мы будем рассматривать параметр t, как время, то Скорость точки будет
г = — a sin ti + a cos t j -I- Ak
величина же ее
г-
= S=VrVx* + V + V1
1Z
2
= Va2 silt2 t 4- я2 cos2 t + A2 = т
где
ff » і « S • і flS і
г = a cos — і + а sin — і + — к
m т J т
Вычисляем
Наконец, определяем RaT:
і__d*T d*г _ аа
IP " ds2' ds* ~~ т*
(cos2 — +sin2 —)
\ т т}
1 а
а
R ~ т*
T <Рг_ dV m' а2 тг а2 +Ь2
ds*'ds» 94
векторный анализ
Гл. Il
Таким образом, кривизна в кручение винтовой линии постоянны. Кроме того, при положительном h у нас получилось положительное кручение. Но при положительном h и левой системе координат мы имеем левую винтовую линию. Таким образом, при левой системе координат левая винтовая линия имеет положительное кручение, в правой же системе координат положительным кручением будет обладать правая винтовая линия.
Задача 76 Доказать, что еслв ваять близкую к точке М» точку кривой M, отстоящую от Mo на бесконечно малом расстоянии 6s, то расстояния точки M от нормальной, спрямляющей и соприкасающейся плоскостей к кривой в точке Mt будут соответственно порядка Ss, §?*, 06а. При атом спримляюшей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная в главной нормали, т. е. проходящая через в и Ь.
Для доказательства разложим радиус-вектор точки в ряд Тейлораї
- ^ S).* + Т©." +Т©."+-"
Но
Л __^iI _ п
5s - d?-~a
_ -L__ Ldii _U JL j. Jil 1 dRп
Ona ~ R ds R* ds " ~ R і R + ГI R' ds ^no формул«* (37) для следовательно,
г_ Ге = + +1 j_ * + ^ _ ^g4) W +...
Заметим теперь, что расстояние точки M до нормальной плоскости равно проекции M0M = г — ц> нв касательную, т. е. равно
(г — r„).sr0 = (o0-a0)os + . . . = os H- . . .
расстояние до спрямляющей плоскости равно проекция M9M на главную нормаль:
(г — r0).n„ = щ (H0-D0) 6s* + . . . = ji- 6s" + . . .
[так как член (O0-H0)Ss = О пропадает I. Наковец, расстояние до соприкасающейся плоскости равно проекции MaM на бинормаль
так как остальные члены разложения, в силу равенств O0- Ii1 = O в Oo'bo e О' пропадают.
Задача 76. Найти выражения для jj|a«(bxc)). Ответ
?.(bxc) + a.gxc)4 a-(bxg 5 9 переменные вВкторЬІ. зависящие от скалярного аргумВнта 94
Задача 77. Найти выражение для [ах(Ьхс)]. Ответ:
?x(bxc)+ax@xc) + ax(bx?)
Задача 78. Точка движется но винтовой линии с постоянной скоростью V, найти ее ускорение.
Так как V = const, то касательное ускорение равно нулю; остается одно нормальное ускорение , и так как по аадаче 74
І-— а R ~ a2+ h<
то
Задача 79. Точка массы т движется под действием притягивающей силы — аг. Найти движение. Составляем уравнение движения
