Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
<Рг
m^i = — аг, или mr + аг = О
Это линейное однородное уравнение можно решать тем же приемом, как и скалярное. А именно, чтобы избежать мнимостей, ищем решение в тригонометрической форме:
г = A sin Аг, ^ = AA cos Af, = — A2A sin kt
Получаем для определения А уравнение:
{— /иА2 + a) A sin At = 0, —тк2 + « = О
Отсюда
А =
г т
Таким образом
A- [Ylt)
есть решение уравнения. Так же найдем, что и
Bcos(j/"|f)
является решением уравнения, где А и В — произвольные постоянные векторы. Поэтому общее решение уравнения будет96
векторный анализ
Гл. Il
Векторы А и В нужно определить из начальных условий, для чего вычислим сначала v:
V= -AVrIcos (/Ir) -B]/|sin (/1,)
Положим теперь t = 0:
'O = B
v„ = A|/|, A=]/|v0
Следовательно,
T = YJ vll SW (/11) + -0 cos f Yl ') (M)
В общем случае, когда г0 и V0 не коллинеарны, это есть уравнение эллипса, потому что, если ввести косоугольные координаты, ось х которых направлена по направлению г0, а ось у по направлению V0, то уравнение траектории в декартовых координатах найдется исключением t ив уравнений:
х-г, У =YTvOsin(Y^t)
в виде
а
Векторы г и V дают во всякий момент времени направления сопряженных диаметров эллипса (61), ибо вектор v параллелен касательной к эллипсу в конце радиусв-вектора г, а диаметр, сопряженный с г, как раз параллелен этой касательной.
Чтобы найти величину сопряженного с т диаметра, заметим, что моменту
*+tV!
отвечает радиус-вектор
- -'('+T /I) = А -.« [/It + f) + [Ylt + т) =
(62)
Поэтому
'W = Zl'('+т V?)
так что радиус-вектор (62) имеет как раз направление V, а значит, ато и есть сопряженный с г полудиаметр как по величине, так и по направлению. Докажем два свойства сопряженных диаметров.
1, Сумма квадратов двух сопряженных полудиаметров есть величина постоянная, т. е. не зависит от того, какую именно пару сопряженных полудиаметров мы взяли.5 9 ПЕРЕМЕННЫЕ ВВКТОРЬІ. ЗАВИСЯЩИЕ от СКАЛЯРНОГО АРГУМВНТА 96
В самом деле,
=r.r = (A-A) sin2 +
+ 2 (A-B) sin (]/?') cos (j/^ i) -H (B-B) cos2(j/?i)
г^ = г,.гх = (A-A) cos2 () -
- 2(А-В)3ін (|/і t) cos (/I t) + (B-B) sin* (]/l l)
Складывая, получим
Iа + rf = A-A + B.B = const
2. Площадь параллелограмма, построенного на двух сопряженных диаметрах, есть величина постоянная. Эта теорема является следствием постоянства г х гх:
г X Tl =
[Yl <)+bMYI OMа -(YIO-Bsin (/I?)]=
= (BxA) [cos2 [Y^t) + (/s г)} = Bx A = con3t
Задача 80. Показать, что если а (г) х ~ = 0, то aj= const.
Задача 8J. Дано, что радиус-вектор точки есть r (г) = г (cos фі + -I- sin <pj), где гиф суть функции времени і; найти проекции Vt и V9 скорости V на направление радиуса и направление, перпендикулярное к нему. Найти проекции Wr и wv ускорения W на те же направления.
Ответ:
vr —г, v9 = np, Wr = г — гфа, Wv = /чр -+- 2тчр
Задача 82. Точка движется равномерно со скоростью v по кругу радиуса г с центром в начале координат; показать, что ускорение точки есть
VtT
W=-^
Задача 83. Показать, что формулы Френе (37) могут быть получены из общей формулы
da
57=мха
если в последней последовательно заменить а на а, а, Ь. Найти вектор «е.
Ответ:
= • + ь
T ' R
7 н. Е. Кочин98
векторный анализ
Гл. Il
Задача 84. Пусть твердое тело вращается около неподвижной точки О, так что единичные векторы i, j, к, направленные по осям координатного триэдра Oxyz, связанного неизменно с твердым телом, являются функциями времени t. Доказать равенство
§ 10. Дифференцирование вектора, отнесенного в подвижной системе координат
1. В механике, особенно в динамике твердого тела, часто приходится встречаться с дифференцированием вектора, заданного по отношению к подвижной системе координат, чаще всего связанной неизменно с движущимся твердым телом. Правила такого дифференцирования мы сейчас и рассмотрим.
В предыдущем параграфе мы рассмотрели движение точки, неизменно связанной с подвижной системой, и нашли, что ее скорость и ускорение выражаются формулами
V — V0 + Ш X г, W = W0 +6 ХГ + MX(BXf) (1)
Теперь мы предположим, что точка M движется относительно подвижной координатной системы так, что, если единичные орты подвижной системы координат обозначить через i, j, к, ее начало — через О, то вектор OM — г будет иметь в подвижной системе координаты X (1), у (t), Z (?), являющиеся функциями времени:
г = Xi + yj + Zk (2)
Но так как система подвижная, то единичные орты i, j, к сами будут функциями времени, как было выяснено в § 9.
Введем еще неподвижную точку О и обозначим через F0 — радиус-вектор точки О относительно О и через г — радиус-вектор точки M относительно точки О.
Тогда, очевидно, будет
Г = P0 + г = r0 + Xi + УІ + Zk (3)
ибо в треугольнике OOM сторона OM есть вектор F, стороны UO и OM — векторы F0 и г.
Абсолютная скорость точки М, которую мы будем обозначать через Va, получается, как обычно, дифференцированием радиуса-вектора г относительно неподвижной точки О по времени: