Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 33

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 144 >> Следующая


<Рг

m^i = — аг, или mr + аг = О

Это линейное однородное уравнение можно решать тем же приемом, как и скалярное. А именно, чтобы избежать мнимостей, ищем решение в тригонометрической форме:

г = A sin Аг, ^ = AA cos Af, = — A2A sin kt

Получаем для определения А уравнение:

{— /иА2 + a) A sin At = 0, —тк2 + « = О

Отсюда

А =

г т

Таким образом

A- [Ylt)

есть решение уравнения. Так же найдем, что и

Bcos(j/"|f)

является решением уравнения, где А и В — произвольные постоянные векторы. Поэтому общее решение уравнения будет 96

векторный анализ

Гл. Il

Векторы А и В нужно определить из начальных условий, для чего вычислим сначала v:

V= -AVrIcos (/Ir) -B]/|sin (/1,)

Положим теперь t = 0:

'O = B

v„ = A|/|, A=]/|v0

Следовательно,

T = YJ vll SW (/11) + -0 cos f Yl ') (M)

В общем случае, когда г0 и V0 не коллинеарны, это есть уравнение эллипса, потому что, если ввести косоугольные координаты, ось х которых направлена по направлению г0, а ось у по направлению V0, то уравнение траектории в декартовых координатах найдется исключением t ив уравнений:

х-г, У =YTvOsin(Y^t)

в виде

а

Векторы г и V дают во всякий момент времени направления сопряженных диаметров эллипса (61), ибо вектор v параллелен касательной к эллипсу в конце радиусв-вектора г, а диаметр, сопряженный с г, как раз параллелен этой касательной.

Чтобы найти величину сопряженного с т диаметра, заметим, что моменту

*+tV!

отвечает радиус-вектор

- -'('+T /I) = А -.« [/It + f) + [Ylt + т) =

(62)

Поэтому

'W = Zl'('+т V?)

так что радиус-вектор (62) имеет как раз направление V, а значит, ато и есть сопряженный с г полудиаметр как по величине, так и по направлению. Докажем два свойства сопряженных диаметров.

1, Сумма квадратов двух сопряженных полудиаметров есть величина постоянная, т. е. не зависит от того, какую именно пару сопряженных полудиаметров мы взяли. 5 9 ПЕРЕМЕННЫЕ ВВКТОРЬІ. ЗАВИСЯЩИЕ от СКАЛЯРНОГО АРГУМВНТА 96

В самом деле,

=r.r = (A-A) sin2 +

+ 2 (A-B) sin (]/?') cos (j/^ i) -H (B-B) cos2(j/?i)

г^ = г,.гх = (A-A) cos2 () -

- 2(А-В)3ін (|/і t) cos (/I t) + (B-B) sin* (]/l l)

Складывая, получим

Iа + rf = A-A + B.B = const

2. Площадь параллелограмма, построенного на двух сопряженных диаметрах, есть величина постоянная. Эта теорема является следствием постоянства г х гх:

г X Tl =

[Yl <)+bMYI OMа -(YIO-Bsin (/I?)]=

= (BxA) [cos2 [Y^t) + (/s г)} = Bx A = con3t

Задача 80. Показать, что если а (г) х ~ = 0, то aj= const.

Задача 8J. Дано, что радиус-вектор точки есть r (г) = г (cos фі + -I- sin <pj), где гиф суть функции времени і; найти проекции Vt и V9 скорости V на направление радиуса и направление, перпендикулярное к нему. Найти проекции Wr и wv ускорения W на те же направления.

Ответ:

vr —г, v9 = np, Wr = г — гфа, Wv = /чр -+- 2тчр

Задача 82. Точка движется равномерно со скоростью v по кругу радиуса г с центром в начале координат; показать, что ускорение точки есть

VtT

W=-^

Задача 83. Показать, что формулы Френе (37) могут быть получены из общей формулы

da

57=мха

если в последней последовательно заменить а на а, а, Ь. Найти вектор «е.

Ответ:

= • + ь

T ' R

7 н. Е. Кочин 98

векторный анализ

Гл. Il

Задача 84. Пусть твердое тело вращается около неподвижной точки О, так что единичные векторы i, j, к, направленные по осям координатного триэдра Oxyz, связанного неизменно с твердым телом, являются функциями времени t. Доказать равенство

§ 10. Дифференцирование вектора, отнесенного в подвижной системе координат

1. В механике, особенно в динамике твердого тела, часто приходится встречаться с дифференцированием вектора, заданного по отношению к подвижной системе координат, чаще всего связанной неизменно с движущимся твердым телом. Правила такого дифференцирования мы сейчас и рассмотрим.

В предыдущем параграфе мы рассмотрели движение точки, неизменно связанной с подвижной системой, и нашли, что ее скорость и ускорение выражаются формулами

V — V0 + Ш X г, W = W0 +6 ХГ + MX(BXf) (1)

Теперь мы предположим, что точка M движется относительно подвижной координатной системы так, что, если единичные орты подвижной системы координат обозначить через i, j, к, ее начало — через О, то вектор OM — г будет иметь в подвижной системе координаты X (1), у (t), Z (?), являющиеся функциями времени:

г = Xi + yj + Zk (2)

Но так как система подвижная, то единичные орты i, j, к сами будут функциями времени, как было выяснено в § 9.

Введем еще неподвижную точку О и обозначим через F0 — радиус-вектор точки О относительно О и через г — радиус-вектор точки M относительно точки О.

Тогда, очевидно, будет

Г = P0 + г = r0 + Xi + УІ + Zk (3)

ибо в треугольнике OOM сторона OM есть вектор F, стороны UO и OM — векторы F0 и г.

Абсолютная скорость точки М, которую мы будем обозначать через Va, получается, как обычно, дифференцированием радиуса-вектора г относительно неподвижной точки О по времени:
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed