Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Выведем, наконец, в дополнение к формулам (30) и (35). характеризующим изменение а и Ь, еще аналогичную формулу для а, для чего вычислим
rfn rf(b X в) db ,. do n , , n b о ,.,о. Ts= d* =dsxs+bx H = -T'+ bX ft = T -R <36)
ври преобразовании пришлось воспользоваться формулами
n=bXff, в X ff = — b, b X D = — а
вытекающими из того, что .а п и b представляют систему трех единичных, взаимно перпендикулярных векторов, идущих е том же порядке, как оси X, у, Z.
Соберем вместе формулы (30), (35) в (36):
da _ п
ds — Я
?-Ч» + г <37>
<2b _ п
Ts — T
Эти формулы называются формулами Френе. 86 викторы ый анализ Гл. II
Выясним еще вопрос о вычислении T и его знаке. Сравнивая формулы (34) и (35), найдем
п cfn
т=йJxa
Умножим скалярно на п и переставим в получившемся векторно-ска-лярном произведении порядок произведений
1 /da \ < dn\
т - {ф- * V - х аг)
Но a = j , далее но формуле (30) о = следовательно
do _ о Л dR
ds ~~ d?+ ds ds'
Значит, получаем онончательяую формулу
— {— x —\
1 ™ ГА Zrf1T V «Рг\] ds ' W dr>)
т = R Is - Up x а?Л = • gr.gr— (38)
ds1 ' ds1
Эта формула показывает, что T является псендоскаляром, т. е. меняет свой знак при переходе от левой системы к правой. Это получается потому, что в выражение для T входит векторное произведение двух полярных векторов, т. е. аксиальный вектор, который после скалярного умножения на полярный вектор дадт псевдоскаляр.
Ниже, в задаче 74, будет показано, что левый винт имеет в левой системе положительное кручение, а правый — отрицательное- Это оправдывает выбор знака в формуле* (35).
7, Рассмотрим теперь движение материальной точка, ааданное указанием ее радиуса-вектора для всякого момента времени 11
г = г (?) (39)
Годограф радиуса-вектора г представляет, очевидно, траекторию точки.
Мы уже определили выше скорость v 0 ускорение w точки:
V = г, w = r = v (40)
Мы можем определять движение точки, задавая пройденную точкой дугу S в функции времени е.
Тогда г будет сложной функцией / через посредство І, поэтому
dt ¦
v = r= — S=Sa=Va ds
(41) 5 9 ПЕРЕМЕННЫЕ ВВКТОРЬІ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ СКАЛЯРНОГО АРГУМВНТА 87
Таким образом, вектор скорости направлен по касательной к траектории, а величина скорости
— Я-* (42>
равна производной пути по времени. Точно так же вычисляем w:
d (ко) . .da • , n , из
W=V= j--- = VQ + VG — V3 +V ^ S = VS + V -^V = VC f-дО
Полученная формула
р*
W = va + д п (43)
представляет разложение ускорения на два слагаемых: касательное ускорение, направленное по касательной к траектории и численно равное о,
Vt
и нормальное ускорение величины -g, направленное по главной нормали. Поэтому величина полного ускорения есть
| w | = и> = |/ w* + (44)
Если г {t) задано своими координатами х (t), у (f), z (t), то мы будем иметь:
г = xi + yi + гк
v = г = яЛ + yj -I- гк (45)
w = г = жі + yj + гк
8. В § 6 мы рассмотрели вращение твердого тела около оси и показали, что скорость любой точки твердого тела может быть представлена формулой
v = «xr (46)
где о» — вектор угловой скорости.
Докажем теперь, что если тело имеет неподвижную точку, около которой оно вращается, то в каждый данный момент скорость любой точки тела может быть вычислена по формуле (46).
Свяжем с твердым телом некоторую прямоугольную систему координат Oxyz, имеющую начало в неподвижной точке. Тогда радиус-вектор точки с координатами х, у, z будет
г = xi 4- yj -+- гк (47)
Задать движение твердого тела значит задать движение координатного триэдра Oxys. Это можно сделать различными способами, например, можно задать векторы t, ,j а к, как функции времени t. Каждый вектор нужно задавать тремя числами; таким образом всего надо задать девять функций времени I, но из них только три можно задать по произ- S8
ВВКТОРНИГЯ АНАЛИЗ
ГЛ. II
волу, потому что между векторами i, j и к существует шесть зависимостей:
= j-j = 1, к-к = 1 (48) i.j = 0, j-k = 0. k-i = О
Так как движение твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, определяется тремя независимыми функциями времени, то говорят, что имеющее неподвижную точку твердое тело обладает тремя степенями свободы.
Отметим, что между первой формулой (45) и (47), несмотря на их внешнее сходство, существует огромное различие. В формуле (45) ж, у, г являются функциями времени, в то время как i, j, к — постоянные орты, значит, в формуле (45) рассматривается движение точки, перемещающейся относительно неподвижной системы координат. В формуле же (47) X, у, Z постоянны, a i, j, к являются функциями времени, поэтому здесь рассматривается движение точки, неизменно связанной с осями, перемещающимися в пространстве, т. е. рассматривается движение точки твердого тела, вращающегося около начала координат. В следующем параграфе при изучении относительного движения мы рассмотрим общий случай, когда меняться будут и координаты х, у, Z и орты i, j, к.
После этого отступления перейдем к нахождению скорости точки тела M с радиусом-вектором (47):
