Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Будем определять положение на кривой всякой точки M длиной дуги s, отсчитываемой от некоторой определенной точки А до точки M й считаемой положительной я одну сторону от точки А и отрицательной в другую. Таким образом г рассматривается нами как функция скалярного аргумента s.
Выясним геометрическое значение и •-.
Рассматриваемая кривая является, очевидно, годографом радиуса-
dr
вектора t, поэтому направление — совпадает с направлением касательной к кривой в сторону возрастания дуги s. Величина же равна еди- 5 9 ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕКТОРЫ. ЗАВИСЯЩИЕ OT СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 83
dt Лг I Дг I
нндо, потому что єсть предел отношения -^j- . зеличина же -jj- I
равная отношению малой хорды к соответствующей дуге, приближается к единице при стремлении Д« к нулю. Итак, ^- есть единичный вектор, направленный по касательной Et кривой в точке M в сторону возрастающего аргумента s.
Мы будем обозначать единичный касательный вектор через <j:
a=1 (27)
Компонентами единичного вектора о, очевидно являются косинусы углов, образуемых им с осями координат:
. , . „ dy di
O1 — cos (о, X) = . = cos (о. у) = , яг — соа ^o1 г) =
iST + + (?)'-1 <»>
Вычислим
d'r _ do_
dt2 ~ ds
Так как с есть единичный вектор, то к нему полностью применимо рассуждение пункта 4-6, в котором мы должны положить ' — а, = а. Поэтому,
do « „ ,, Дф
-j— есть вектор, перпендикулярный к S и по величине равный Iim -Tjr1 а* д»-»о 4<
где Дф означает угол между днумя соседними единичными касательными векторами я в в + Да, назыпаемый углом смежности.
Предел отношения угла смежности к элементу дуги Дг называется кривизной кривой в данной точке а обозначается так:
Для прямой линии, очевидно, кривизна равна нулю, так что кривизна есть некоторая, мера отклонения кривой от прямой. Для окружноста радиуса R. очевидно Д« = /?Д<р и кривизна постоянна а равна .
Величина R, обратная кривизне кривой, называется радиусом кривизны кривой в рассматриваемой точке.
Разберемся в вопросе о направлении вектора ~ Предельное положение плоскости, проходящей через касательную и параллельной соседней касательной, называется соприкасающейся плоскостью. Так как вектор Де равный разности векторов о + До и о лежит как раз в плоскости, проходящей черея касательную а аараллельной соседней касательной, то
.. До ад
lim -г— = -т— Дї-иі Л* <*»
будеї лежать в соприкасающейся плоскости.
6* 84
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
„ ., da
С другой стороны, мы видели, что вектор -gj- перпендикулярен к касательной в точке М. Прямые, проходящие через точку M а перпендикулярные к касательной в этой точке, называются нормалями к кривой, а плоскость, их содержащая и, очевидно, перпендикулярная к касательной, называется нормальной плоскостью к кривой в точке М. Та нормаль к кривой, которая лежит в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью. Из сказанні*г da I ного выше следует, что вектор -JJ5- = -JJ- имеет величину -jj- и направлен
по главной нормали, очевидно, в сторону вогнутости кривой.
Введем, аналогично единичному касательному вектору о, единичный
de
вектор п, направленный по главной нормали в ту же сторону, как и , тогда
d?t _ da о , 1__d*г d*г
"Л- П ~ ' ~Ж - '
Последняя формула, дающая R, получается скалярным умножением обоих членов формулы (30) самих на свбя.
В компонентах мы будем иметь:
о „ <Ру г,
R = 1 (31)
V (щг) +№) +Ы
Та нормаль к кривой, которая перпендикулярна к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Введем третий единичный вектор Ь, направленный по бинормали в такую сторону, чтобы о, п и b образовали систему того же рода, какая образована осями х, у, г.
Тогда
Ь=вхп, 6 = 1 (32)
Найдем компоненты единичного бинормального вектора:
h — R (dy __dhj ^
х I, ds ds2 ds ds* j
h - R ("k d^ <Ь> <P*\ (33)
« " Us dS2 ds ds* /
, _ n 1 dx <Py dy da« \
7 = ~ds' ~ST HsrJ
Изучение изменения направления единичного касательного вектора привело нас к понятию кривизны кривой. Рассмотрение изменения направления соприкасающейся плоскости или, что то же, бинормали приводит к понятию кручения кривой. Итак, аналогично составам
. Так как b — единичный вектор, т. е. b«b = 1, то b- = 0, так 5 9 ПЕРЕМЕННЫЕ ВВКТОРЬІ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ СКАЛЯРНОГО АРГУМВНТА 85
что перпендикулярно к Ь: с другой стороны, непосредственное вычисление дает:
lib rf(«xn) da Al
-t- = —і—i-— = -у— хп+«х -t-
ttf, as as Us
Ho первая скобка пропадает, так как ^ = -J а векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулю, поэтому:
tfb du
Ts= (34)
Отсюда следует, что перпендикулярно танже и к е. Поэтому ^ коллвнеарно с так что мы можем написать
І — 7 (35)
Величина T называется радиусом кручения кривой в точке M. — — кручением кривой Так как Ь — единичный вектор, то по пункту 4-6
IdbI III ,. Дф
I=HH- ІЇЇ.4Ї-
где Дф есть угол между двумя соседними бинормалями Если кривая плоская, то бинормаль не меняет своего направления, так что для плоской кривой кручение равно нулю; значит, кручение являетсн мерой отклонения кривой от плоской кривой.
