Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
di , «(j , (2k r-*2f+ »« + «аг
Проекция на ось х будет
--S «о+»а-O+-о
Но в силу (48)
d (''') _ О /: <Н\ _ n d - і _i_ S 4І - П
St--St--ST' " Л - 0
Поэтому
¦«—(я Ф+ (?•»)'
Циклической перестановкой (заменой х иа у, у аа z, г иа і, і на .j, j на k, к на і) подучим:
(3.k)«+(-.j),
Поэтому, если обозначить
ю, = 2-к, (Ou = ^jJr- i, co, = g.j (49)
и если ввести вектор
«»{<) = Wgi + <D„j + шгк (50) 5 9 переменные вВкторЬІ. зависящие от скалярного аргумВнта 89
то будет
vx — WyZ — (D1V > Щ = шгл; — vz — а>ху — (51)
или в векторной форме
V = о» X г (46)
Формулы (49) позволяют вычислять проекции вектора угловой скорости на оси X, у, г, связанные с твердым телом. Выберем неподвижную систему координат Oiyi и зададим векторы i, j, к их проекциями на оси OSyz, т. е. девятью косинусамв таблицы § 4. Так например, проекции j и к суть
/і =• cos (у, 3) = ?i, /у — cos {у, у) = ?i, /г - cos {у, z) — ?s кї = Yb jfcS- Т»> fe = Ys
Поатому
= ^Ё? = я* dIl = W; dt dt di dt ' di dt
Циклическая перестановка г, ?, у Дает <u„ и a>z.
Общий случай движения твердого тела приводится к только что рассмотренному; если обозначить радиус-вектор начала О подвижной системы координат относительно начала О неподвижной системы координат через ?„, а радиус-вектор точки тела через F и сохранить обозначение ? для радиуса-вектора точки тела относительно О, то
F => r„ + xi + у} 4- гк
При дифференцировании прибавится лишний член, представляющий скорость V0 точки О:
^ dr« . di di . tfk
у=Т = ш + хж + Уж+ zdi
Поэтому формула, дающая распределение скоростей различных точек твердого тела, будет
V = V0 + о» X г (53)
или в координатах
Vx — Pgx + (OyZ — W2J/
vV = zjOK + Wt* — 0iXz (54)
"г = »о* + — «V
Для вычисления ускорения различных точек твердого тела дифференцируем (53):
+ + S=wO ^хг + »х(»хг) (55) 90
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
Таким образом, ускорение точек твердого тела состоит из трех частей: ускорения' точки О, вращательного ускорения toXt и осестремительиого ускорения юх(юхг).
Вектор последнего, о одной стороны, перпендикулярен к <0, с другой стороны, лежит в плоскости векторов W и г, откуда и можно заключить о его осе стремительно сти.
9. Рассмотрим простейшие вопросы динамики материальной точки.
Вектор тп\, где т — масса материальной точки, называется количеством движения точки.
Закон Ньютона говорит, что производная по времени количества движения точки равна действующей на эту точку силе F:
dmv „
Ж = F
или
tow = mv = mi = F (56)
Умножим обе части уравнения (56) векторно на г:
tXmit — rx F
Преобразуем левую часть этого уравнения, воспользовавшись тождеством
~ (rx тт) = гх тт + г х mir = г х mir
первый член пропадает в силу коллинеарности г и тт.
Поэтому
~ (г X mi) = г X F (57)
Справа стоит момент силы относительно начала координат, слева же' производная от момента количества движения гXmv. Получили закон моментов количеств движения: производная по времени момента количества движения точки относительно точки О равна моменту действующей на точку силы относительно той же точки О.
Если сила центральная, т. е. проходит через постоянную точку, которую мы возьмем за иачгало координат, то F будет направлена по г в ту или другую сторону, так что F = At, поэтому г х F для центральной силы равно 0 и из (57) мы выводим
гхг = const = о (58)
Найдем геометрическое значение этого равенства. Прежде всего, умио-.кая (58) скалярно на г, найдем, что
с.г - О
Следовательно, движение происходит в плоскости, перпендикулярной к вектору с и проходящей черев центр силы. Величина rxdr представ- 5 9 ПЕРЕМЕННЫЕ ВВКТОРЬІ. ЗАВИСЯЩИЕ от СКАЛЯРНОГО АРГУМВНТА 90
ляет площадь параллелограмма, построенного на г и dt, т. е. удвоенную площадь треугольного' сектора, описанного радиусом-вектором г аа время dl- Поэтому I г X г j представляет величину секториальной скорости, и уравнение (58) говорит, что точка движется в постоянной плоскости с постоянной секториальной скоростью, так что радиус-вектор точки описывает в равные времена равные плошади, почему интеграл (58) называют еще интегралом сохранения площадей.
Умножим, с другой стороны, основное уравнение (Sti) скалярно на v d< = dr.
т\-V di — F-dr
но V dt = d\, следовательно
m(v.dv) = F.гіг
замечая далее, что
dto» = !((ут) = 2 (v-dv), (v-dv)=d^
подучим
d^ = F-dr (59)
Выражение -і- ліф* называется живой силой точки, скалярное же произведение. F-dr представляет елементарную работу силы F на перемещении dr.
Формула (59) выражает так называемый закон живой силы в дифференциальной . форме:
Приращение живой силы материальной точки ш промежуток времени di равно элементарной работе cu.-ш, действовавшей на точку, но перемещении точки dt за тот же промема/ток времени
Перепишвм, наконец, закон Ньютона в следующей форме:
dmv — F dt
проинтегрируем теперь обе части этого равенства в пределах от момента Ia до момента I, тогда получим:
