Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
P1P2 составит угол ф0 +
P1P3 составят угол Фо + наконец,
D-W m J- 2 (" — 1) Я
Fn-^ra составит угол ф0 -1----
Спроектируем теперь замкнутую ломаную линию P0P1 . . . P„_i P0 на ось х\ так как все стороны ее равны между собой, то получим тригонометрическое тождество:
cos9o+ со8(ф0 + + соз(Фо + ?) + . . . + соз(ф0 + Іі^іііГ) = о
Например, будет: при ф0 = О
j. 2п , 4л , . 2 (я — і) я „
1 + cos--Ь cos--^ . • ¦ + cos -і- = О
п п а
при Фо = у
. 2я , . 4я ¦ . . . 2 (л — І)я л
Sin — + ein — + . . . + sin —-— = U
л л п
Фиг. 22
Задача 21. Тяжелая точка веса P находится в равновесии на гладкой наклонной плоскости под действием двух сил Qi и Qa (фиг. 23); величина каждой из этих сил равна Р, сила Qi горизонтальна, сила Qa направлена вдоль наклонной плоскости вверх. Требуется определить угол а наклона плоскости к горизонту.
Если мы введем в рассмотрение еще реакцию плоскости R, направление которой перпендикулярно к наклонной плоскости, четыре силы Р, Q1, Qa и R будут находиться в равновесии, так что
Фиг.. 23
P+Qt + Qs + R = 0 (20)
Величина реакции R нам неизвестна, она нас не интересует, поэтому уравнение (20) надо проектировать на такое направление, чтобы проекция R пропала, т. е. нужно проектировать на направление силы Qs-Так как угол между Qi и Qa есть а, между P и Qs есть 90е + а, то проек- ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
5 4
циеи Qi будет P cos (90° + а) =
служить -i P cos а, — P sin а, наконец,
-І-P cos a + -?/> —
проекцией P проекцией Qa
P sin а = О
33
будет служить будет -J-Р:
Отсюда
-i- cos а + -І — sin а — 0, или co*s а + 1 — 2 sin а = О
Но
1 + cos а = 2 cos2 у, si п а = 2 sin -j cos -і Следовательно
2 Cos4I- - 4 sin у cos ? = 2 cos -|(cos -H- - 2 sin y) = O
Отсюда, сокращая на cos ~ (так как a < 90°, то cos ф O^ , имеем
cos — 2 siny = 0, = a = 53°7'48"
Задача 22. Точка M (t) притягивается неподвижными точками JW1 (Гі), . . . , Mn (I1n) с массами тг, . . . , тп, причем силы притяжения пропорциональны расстояниям до этих точек и массам их. Найти результирующую силу и положение равновесия точки М.
Сила притяжения точки M точкою M1 равна, очевидно, ктл (гі — г), где к — коэффициент пропорциональности, ибо этот зектор направлен от M к Mx и пропорционален расстоянию MM1. Точно так же найдутся и другие силы. Поэтому результирующая сила будет
R = ктх (гг — г) + ктг (r4 — г) + . . . + Icmn (гп — г)
Преобразуем »то выражение
R = A; (т,^ -J- mar2 + . . . + яг„гп) — к (т, 4- ... 4- т„) г
Введем центр тяжести масс тх, тг, . - - , Ota, обозначив его радиус-вектор через р:
_ JTtin + тага -Ь . ¦+ тпг„ P Mi + /? +. . + тп
Тогда
R = к (ж, + . . . + тп) (р — г)
т. е. результирующая сила есть сила притяжения точки M ге центру тяжести масс /%, .. . , т„, в котором сосредоточена масса т., -H... -Ь тп. Отсюда сразу вытекает, что точка M будет в равновесии, если
р = г
т. е. если точка M находятся в центре тяжести масс тг, пц, . . . , тл.
З Н. В. Кочяв 34
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
Если мы введем прямоугольные координаты х, у, г, то для положения равновесия точки M получвм:
mm +. . ">„хп ш, + . . -+ тп
У =
"I1JZ1 -
т, + . . . + лг„
TO1Zl -I---- +
¦ + тп
ГП-1 ¦
с;
В общем случае для проекций результирующей силы полупим:
К = к (/TilZ1 + . . - + тпхп) — к (m, + . . . + mj я
У = ft (Bi1Jf1 + . . . + — /с (»г, + . . . + Tnn) у
Z — к Im1Zi + ... + /WnZn) — к (Wi1 + ... + Itn) ъ
З а д а ч а 23. К вершине О прямоугольного параллелепипеда OABCDEFG приложены три силы, изображаемые векторами OB, OE, OG, найти величину и направление равнодействующей R (фиг. 24).
Очевидно,
R = OB + OE + OG
Обозначим Ш = а, ОС = b, OD тогда
Ofi = a-(-b, OE = а + с, OG=b + в Откуда
R=a+b+a+«+b+o=
= 2 (а + Ь + с) = 2OF
т. е. искомая равнодействующая изображается удвоенной диагональю параллелепипеда OP.
Задача 24. На точку действуют три силы, проекции которых на прямоугольные оси равны: X1 = 1, F1 = 2, Z1 = 3; Xi = — 2, Y2 = 3, Z3 = — 4; X8 = 3, ys = — 4, Z3 — 5: найти величину и направление равнодействующей.
Ответ. R = УЖ, cos (R, X) =^ , cos (R, у) = ^ , cos (R, z) =
Фиг. 24
/її
З а д а ч а 26. Пусть в Д ЛВС угол А прямой и пусть AD есть высота, опущенная на гипотенузу ВС. Доказать, что равнодействующей двух сил, приложенных к точке А, из которых
одна направлена по AB и равна ~ • другая направлена по AC и равна ,
1
является сила , направленная по АО.
З а д а ч а 26. Пусть ABCDEF есть правильный шестиугольник. Найти равнодействующую сил AB, AC, AD, AE, AF, приложенных к точке А. Ответ. 3AD. § 5 скалярное или внутреннее произведение двух векторов 35
§ 5. Скалярное или внутреннее произведение двух векторов.
Его свойства
1. В § 2 дано было определение геометрической суммы двух векторов и было показано, какие соображения геометрического и физического характера привели к установлению этого понятия. Оказывается, что если мы хотим соответствующим образом ввести понятие произведения двух векторов, то мы должны определить два различных действия умножения: умножение скалярное и умножение векторное.
