Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Ответ. Окружность; вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, есть прямой.
Задача 44. Доказать, что если А, В, С — вершины треугольника, P — точка пересечения его медиан, а О — какая-либо точка, то имеет место тождество
AB2 + BC2 + CA2 + 9OP2 = 3 (OA- — OB2 + ОС2)
Задача 45. Доказать, что если А, В, С — вершины треугольника, А', В', С' — середины противоположных сторон (фиг. 10) и О — какая-либо точка, то имеет место тождество
AB2 + BC2 + CA2 + Ь {{OA')2 + (OB')2 + (OCT) = 4 \0A2A-OB2 + OCi]. 44
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
§ 6. Векторное или внешнее произведение двух- векторов.
Изображение площадей векторами. Вектор замкнутой поверхности.
Свойства векторного произведения. Полярные и аксиальные векторы.
Приложения к статике и кинематике
1. В предыдущем параграфе мы рассмотрели скалярное умножение двух векторов. Теперь мы рассмотрим векторное умножение двух векторов, в результате которого получается новый вектор.
К необходимости рассматривать такую операцию приводят требования геометрического и физического характера.
Например, вспомним определение момента относительно начала координат О силы F, приложенной к точке Р, характеризуемой радиусом-вектороч г; это есть вектор, равный по величине площади параллелограмма, построенного на векторах г и F, и направленный по перпендикуляру к этой площади. Вектор, таким образом составленный из г и F1 и называется векторным произведением г и F. Дадим более точное определение.
Векторным или внешним произведением двух векторов а о b называется вектор, по величине равный площади параллелограмма, построенного на векторах а а Ь, перпендикулярный плоскости этих векторов и направленный в такую сторону, чтобы вращение от a к Ь на кратчайшем пути вокруг полученного вектора происходило в ту же сторону, как вращение от оси X к оси у вокруг оси г.
Если выбрать левую систему координат, то нужно вращать ось х вокруг оси г по часовой стрелке, чтобы
---7 совместить ее с осью у. Поэтому векторное произведение
векторов а и Ь нужно направлять в такую сторону, чтобы, глядя оттуда, видеть вектор а слева от Ь, т. е. переход от а к Ь видеть совершающимся по часовой стрелке (фиг. 27). Если же пользоваться правой системой коорди-Фиг. 27 нат, в которой вращение от оси х к оси у на кратчайшем пути вокруг оси Z происходит против часовой стрелки, то векторное произведение векторов а и Ь придется направить в противоположную сторону, как покааывает фиг. 27.
Будем обозначать векторное произведение а я Ь косым крестом, т. е.
с = а X Ь (1)
Из других обозначений наиболее употребительны [ab], (а, Ь].
Длина вектора с по определению равна
с = ab sin (а, Ь) (2)
Отсюда сразу же можно вывести, что при параллельности а и Ь векторное произведение а на b равно нулю:
ах Ь = 0 (а ЦЬ) (3) § fi ПИКТОРНОЕ ИЛИ ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
45
В частности всегда
а X а = 0 (4)
Напротив, если а перпендикулярно Ь, то
с = ab (5)
2. От перестановки сомножителей векторное произведение меняет свой знак.
Ьха = - ахЬ (6)
ибо величина параллелограмма и его плоскость не меняются, направление же произведения мы должны изменить на прямо противоположное. Таким .образом, векторное произведение некоммутативно.
Далее, векторное произведение ассоциативно по отношению к скалярному множителю, т. е. скалярный множитель можно выносить из-под знака векторного произведения:
т (а X Ь) = ma х b (7)
при положительном т эта формула очевидна, ибо она выражает, что при увеличении одной стороны параллелограмма в т раз площадь параллелограмма тоже увеличится в т раз. Чтобы убедиться в справедливости формулы (7) для случая отрицательного т, достаточно обратить внимание на то, что при изменении знака одного из множителей величина векторного произведения остается неизменной, направление же этого произведения меняется на прямо противоположное.
Теперь мы докажем дистрибутивность векторного произведения, т. е. формулу:
ax(b + c) = »xb + »xe (8) Фиг. 28
Для доказательства разложим векторы b и с на две составляющие, параллельно и перпендикулярно вектору а:
Ь = ma + Ь' (V 1а)
с = да -I- с' (c'Xa) (9)
тогда b + с тоже разложится на две составляющие:
Ь + с = (т + л) a + (b' f с') (b' + в'Xa) (W)
Заметим теперь, что
axb = axb' (11)
ибо площадь параллелограмма, построенного на а и Ь, равна площади прямоугольника, построенного на а и Ь' (фиг. 28). Точно так же
ах с = а X с', ax(b + с) = ах (b' + с')
(12) 46
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
Фиг. 29
Но нетрудно показать, что
а X (b' + с') = а X b' + а X с' (13)
ибо, если выбрать, например, левую систему координат и если вектор а, перпендикулярный к фиг. 29, выполненной в плоскости векторов Ь' и с', направлен от чертежа вперед к нам, то векторное произведение ахЬ' будет представляться отрезком длины ab', повернутым на 90° по часовой стрелке.
Таким образом, весь параллелограмм, построен-к ный на Ь' и с', поворачивается на 90° и удли-
няется в отношении а, а так как при этом диагональ продолжает оставаться геометрической суммой сторон параллелограмма, то получается соотношение (13). В силу равенств (11) и (12) это соотношение равносильно (8).
