Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
пл. BCD = пл. ВАС + пл. BDA + пл. DCA
то сумма векторов проекций граней тетраэдра равна нулю, так что для итого случая теорема доказана.
Точно так же разбирается случай фиг. 32, Ь; в этом случае треугольники ВАС, BDA представляются векторами, направленными противоположно векторам треугольников BCD, CAD.
В соответствии с этим здесь имеется соотношение:
пл. ВАС + пл. BDA = пл. BCD + пл. CAD
Итак, проекция вектора поверхности тетраэдра на плоскость ху равна нулю; так как за плоскость ху можно принять любую плоскость, то проекция вектора поверхпости тетраэдра на любую плоскость равна нулю, а значит, самый вектор тождественно равен нулю.
Теперь докажем теорему для замкнутого многогранника. Мы всегда можем разбить последний на ряд тетраэдров. Применим теорему для каждого из последних и сложим результаты, тогда получится, что сумма векторов всех граней многогранника плюс сумма векторов по всем добавочным граням, которые мы провели при разбитии многогранника на тетраэдры, равна нулю. Но рассмотрим какую-нибудь добавочную грань; она будет служить гранью для двух тетраэдров, причем один раз мы § fi ПИКТОРНОЕ ИЛИ ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ 49
должны за внешнюю нормаль к нвй брать одно направление нормали, а другой раз как раз противоположное. Поэтому сумма векторов, отвечающих добавочным граням, тождественно равна нулю, так что сумма некторов по всем граням замкнутого многогранника или, что то же, вектор замкнутого многогранника, равен пулю.
Непосредственным следствием отсюда является вывод, что вектор всякой замкнутой поверхности равен нулю, ибо, вписывая в ату поверхность ряд многогранников с гранями, стремящимися к нулю, мы будем получать равные нулю векторы этих многогранников, а следовательно, и в пределе получим для вектора замкнутой поверхности нуль.
Только что доказанная теорема допускает очень простую физическую интерпретадию.
Рассмотрим несжимаемую жидкость, находящуюся в покое, причем никакие внешние силы на нее не действуют. По закону Паскаля гидростатическое давление всюду будет одним и тем же; обозначим его через р.
Выделим теперь некоторый объем жидкости, ограниченный произвольной поверхностью S', так как выделенный объем жидкости находится в равновесии, то геометрическая сумма всех приложенных к нему сил должна равняться пулю.
Но внешних сил нет, следовательно, на выделенный объем будут действовать только силы гидростатического давления.
Рассмотрим какую-нибудь малую часть поверхности, ограничивающей выделенный объем; пусть эта часть поверхности представляется вектором S11 тогда действующая па эту часть поверхности сила будет равна рS1 и будет направлена по нормали к поверхности опутрь поверхности, т. е. как раз противоположно вектору Si.
Значит, действующая на рассматриваемую часть поверхности сила равна — pSi.
Поэтому геометрическая сумма всех сил, действующих на поверхность S, только множителем — р отличается от геометрической суммы всех векторов Si, равной вектору замкнутой поверхности S. И так как геометрическая сумма всех сил по вышесказанному равна нулю, то я вектор замкнутой поверхности S должен равняться нулю.
5. Приметім только что доказапнуто теорему для вывода формулы (8):
а X (Ь + с) = axb + axc
Построим для этого геометрическую сумму векторов b + с и на получившемся таким образом (фнг. 33) Д ABC построим призму, ребра которой равны п параллельны вектору а.
Вектор полученной замкнутой поверхности, равный по только что доказанному нулю, составляется из пяти членов.
Два члена, отвечающие граням ABC и А' В' С', очевидно взаимно уничтожаются, ибо площади этих граней равпы, а внешние нормали к ним как раз противоположны. 4 И, Е. Кочин 50
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
B1
Три остальные грани при пользовании левой системой координат и при расположении векторов, указанном на чертеже, чего всегда можно добиться перестановкой векторов b и с, дают соответственно векторы:
грань CC'А'А . . . axb
» AA'В В . . . ахс
» ВВ'С'С . . . ах[— (Ь 4- с)!
ибо когда мы,смотря извне, обходим, наири-Фиг. 33 мер, грань CC'А'А по стрелке часов, то вектор
b = С'А' следует за вектором a =CC- Скла« дывая три полученных вектора, мы должны получить нуль, так что
axb + ахс — ах (b 4 с) = 0
Отсюда
а х (Ь 4 с) = axb4axc Что и требовалось доказать.
6. Образуем векторные произведения основных ортов; прежде всего, і: силу (4), имеем
ixi= jX j = kxk = 0 (14)
далее, непосредственно из самого определения векторного произведения вытекают формулы
ЇХ j = k, jXk = і, kx і = j
jx і = — k, kxj = — і, і X k = — j (15)
При помощи этих формул легко найти составляющие axb, если известны составляющие а и Ь; в самом деле, вычислим
axb = (axi 4 avj 4 a*k)x(bxі 4 bj 4- bzk) =
= axbx (ix i) 4 "A (»X J) + aJ>t (•>< k) + «А (JX i) + O40I/ (jx j)' +
+ <*A (jxk) 4 «А (kxi) 4 aj)y (fcxj) +aA(txk) (16)
В силу формул (14) и (15) произойдут большие сокращения:
а X b = і (Ciybl — axbv) 4 j (агЬх — axbz) 4 k (axby — Oybx) (17)
