Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 16

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 144 >> Следующая


3. Приведем другое доказательство формулы (8), для чего покажем сначала, как можно при помощи векторов изображать не только направленные отрезки, но и направленные площади.

Такая площадь только что встретилась нам в виде параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, причем был существен порядок, Bi котором следовали векторы а и Ь. Откладывая сначала вектор а, а потом Ь, мы получаем определенное направление, контура параллелограмма (фиг. 27); этот параллелограмм мы изобразили вектором с.

Мы будем всякую площадку S, на контуре которой задано направление обхода, изображать вектором, длина которого равна площади площадки, а направление совпадает с направлением положительной нормали к площадке.

При этом положительной нормалью к площадке называется перпендикуляр, восставленный к площадке и направленный в ту. сторону, откуда обход по контуру кажется совершающимся по часовой стрелке, если выбрана левая система координат, к против часовой стрелки, если выбрана правая система.

Иначе это можно высказать следующим образом: будем ввинчивать в площадку винт, вращая его в направлении обхода контура, тогда он будет перемещаться и поступательно в направлення положительной нормали к площадке, если только пользоваться при левой системе координат винтом с левой нарезкой, а в правой системе винтом с правой нарезкой или буравчиком.

Мы будем обозначать вектор, изображающий площадку S, через S или Sn, понимая под в — единичный вектор, направленный по положительной нормали (фиг. 30).

Дальше мы несколько остановимся на свойствах векторов такого рода.

Фиг. 30 § fi ПИКТОРНОЕ ИЛИ ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ

47

Докажем теперь следующую теорему: проекция площади S, изображаемой вектором S1 на какую-либо плоскость P может быть изображена вектором, являющимся проекцией вектора S на перпендикуляр к плоскости Р.

Пусть плоскости SaP составляют между собой угол « (фиг. 31); обозначим линию их пересечения через KK'.

Рассмотрим прямоугольник ABCD, две стороны которого AB и CD параллельны прямой KK', а две другие стороны AD и ВС перпендикулярны KK'. Этот прямоугольник спроектируется в прямоугольник А' В' С' D', две стороны которого А'В' —C'D' будут равны AB = CD, две же другие стороны, очевидно, уменьшатся, а именно:

к

A'D' = В'С = AD cos а — ВС cos а

Фиг. 31

Поэтому площадь dS четырехугольника ABCD спроектируется в площадь dS' = dS cos а. А отсюда следует, что проекция S' всей площади S равна S' = S cos а, так как площадь S можно составить из большого числа прямоугольников вида ABCD со сторонами, параллельными и перпендикулярными к KK', каждый из которых будет при проектировании уменьшаться в отношении cos а.

Спроектируем с другой стороны вектор S (на фиг. 31 принята левая система координат) на перпендикуляр к плоскости Р.

Так как угол между перпендикулярами, к плоскостям S vi P равен углу между самими плоскостями, т. е. а, то проекция S на перпендикуляр к плоскости P равна S cos а, т. е. величине площади S'.

С другой стороны, из чертежа видно, что проекция S на перпендикуляр к Р, рассматриваемая как вектор, является положительной нормалью для S'.

Поэтому S' может быть представлена проекцией S на нормаль к Р, что и требовалось доказать.

Возьмем теперь какую-нибудь многогранную поверхность S, на контуре которой задано определенное направление обхода.

Приведем в соответствие каждой грани (S11, S3, . . . , Sn этой поверхности изображающий ее вектор S1, S1, ... , Sn, причем направление положительного обхода каждой грани определяем из направления обхода всей поверхности.

Сумму векторов S1-I-S2-I- . . . S„ мы будем считать вектором, представляющим нашу многогранную поверхность.

Если поверхность замкнута, то за положительное направление нормали к каждой грани мы будем принимать направление внешней нормали.

Если мы имеем дело с кривой поверхностью, на контуре которой вадано какое-нибудь направление, то мы можем определить представ- ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Гл 1

ляющий эту поверхность вектор следующим образом. Впишем в данную поверхность многогранную поверхность с очень малыми гранями, определим для нее представляющий ее вектор и перейдем к пределу, устремляя Rce грани к нулю; полученный вектор и называется вектором данной поверхности.

4. Докажем теперь важную теорему: Вектор замкнутой поверхности Q всегда равен нулю.

Докажем теорему сначала для тетраэдра. Достаточно доказать, что любая проекция вектора поверхности тетраэдра равна нулю.

Спроектируем его на какую-нибудь плоскость, например, плоскость ху, в проекции мы получим треугольный (фиг. 32, а) или четырехугольный контур (фиг. 32, Ь).

Каждый треугольник проекции представляется вектором, заправленным по положительной или отрицательной оси z, смотря по тому, составляет Фиг 32 ли внешняя нормаль к той грани, проекция которой

рассматривается, с осью г острый или тупой угол.

В случае фиг. 32, а треугольники ВАС, BDA, DCA представляются векторами, направленными противоположно вектору BCD, ибо если грань, отвечающая BCD, смотрит в одву сторону оси г, то три другие грани будут направлены в другую сторону оси г. А так как
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed