Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
(а, 4- a3)-(bXс) = a, .(b х с) 4 а2- (Ь х с) a-[b X (C1 4 C2)] = a-(b Xc1) 4 а.(Ьх с3)
Поэтому
а-(Ьхс) = (ахі 4 O1J 4 а,к).[(Ьяі 4 Ьуj 4 bzк) х(cxi 4 c,,j 4 с,к)]
может быть представлено в виде суммы двадцати семи членов, однако только шесть из них отличны от нуля, именно те, в которых комбинируются i, j и к, так как все члены вида
Mjxjb Mjxi)
в которые входят два одинаковых орта, обращаются в нуль. Поэтому а-(Ьхс) = ахЬуСг — aJt2Cy 4 aJb2Cx — ауЬ^сг 4 azbxcu — агЬуСх (5)I 7
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ
61
Мы взяли со знаком плюс три коэффициента при i.(jxk). j.(kxi), k.(ixj)
(ибо эти произведения равны объему куба с ребрами длины единицы) и со знаком минус три коэффициента при
i.(kxj) = — 1, j.(ixk)=—1, k.(jxi) = - 1
Выражение в правой части формулы (5) называется определителем третьего порядка из составляющих векторов a, b и си обозначается следу ющнм символом:
с «к I
"V Cv
(6)
Правило для раскрытия определителя 3-го порядка состоит в том, что мы должны приписать справа и слева от определителя по одной колонне (согласно схемы, приведенной здесь справа), составить произведения из трех элементов каждой из шести получающихся диагоналей и взять со знаком плюс произведения, отвечающие, диагоналям, идущим сверху слева вправо вниз, и со знаком минус три остальные произведения.
Укажем еще, что определитель 2-го порядкв раскрывается по формуле
Итак
<h,
а-(Ь хс) =
= aJ>v — «4>х
Ov (I2
Ь„ Ъ,
(7)
(8)
Эта формула, указывающая тесную связь векторно-скалярныз произведений и определителей 3-го порядка, дает, таким обрааом, также выражение объема параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и с.
Как важное применение этой формулы, выведем соотношение между девятью косинусами углов, составляемых осями двух координатных триэдров (фиг. 20). Выбирая за векторы а, Ь, в соответственно векторы j, j и к, мы получим, что
І »і ?i T1
aa
|32 ?S
+1
(9)
где нужно взять знак плюс или минус, смотря по тому, имеют ли оба триэдра одинаковую ориентацию или разную.62
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
Попутно отметим, что векторное произведение двух векторов a a b также можно представить в форме определителя, а именно:
axb =
і j k
aX aV аг
bx bv ьг
(10)
Для доказательства достаточно раскрыть определитель правой части этой формулы, получится формула (17) § 6.
4. Перейдем к рассмотрению двойного векторного произведения ах (Ьхс); этот вектор, с одной стороны, перпендикулярен к а, с другой стороны, будучи перпендикулярным к b X с, т. е. к перпендикуляру к плоскости, определяемой векторами b и с, он должен быть компланарен векторам b и с. Итак, вектор ах(Ьхс) направлен по линии пересечения плоскости, перпендикулярной к а, с плоскостью, компланарной векторам b и с.
Вектор ах(Ьхс), компланарный векторам b и с, можно разложить по этим векторам, так что
ах (bxc) = тЪ + па (11)
где тип — подлежащие определению скаляры.
Примем, что основная система координат есть левая система. Для определения т мы исключим л, для чего умножим обе с' части уравнения скалярно на вектор с', лежащий в
* плоскости векторов b и с, перпендикулярный к о
/ и направленный так, чтобы с', с и Ьхс образо-
вали левую систему. Фиг. 37, выполненная в плоскости векторов b и е, покааывает, что вектор с' нужно направлять в сторону вектора b (вектор Ьхс направлен от чертежа вперед). В результа-а»(Ь«с) те умножения получается
Фиг. 37 [ах(Ьхс)]-е'= т(Ь-с') (12)
Преобразуем векторно-скалярное произведение левой части но формуле (2):
(ах(Ьхс)Ьс' = [(Ьхс')хс'Ьа
Но двойное векторное произведение (bxc) Xс' можно вычислить непосредственно.
Вектор Ьхс имеет величину be sin (Ь, с) и направлен по перпендикуляру к чертежу (фиг. 37), вперед от чертежа. Поэтому вектор (Ьхс)хс' имеет длину be sin (Ь, с)-с' = cbc' sin {Ь, с) = cbc' cos (b, с') = с (Ь«с') и направлен по вектору с, а значит
(Ьхс)Xс' = е (Ь-с') (ах(Ьхс)Ьс' = (а»с) (Ь.с')I 7 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ
63
Подставляя это выражение в уравнение (12) и сокращая на Ь-с' величину, не равную нулю, если только Ь ве параллельно с, найдем
т = а.с (13)
Чтобы найти га, перепишем формулу (11) в виде
а X (с X b) = — mb — лс
Применяя только что найденный результат, сразу найдем
— п = а-Ь (14)
так что окончательная формула будет
ах (Ьхс) = Ь (я.с) — с (а-Ь) (15)
Эта формула остается справедливой и при коллинеарности Ь и с, так как тогда обе части равенства обращаются в нуль.
Отметим, что в двойном векторном произведении очень важно подчеркивать порядок перемножения. Так, например, вычисляя (а х b) х с, мы получим совершенно другой вектор:
(а X Ь) X с = — cx(axb) = cx(bxa) = Ь (а.с) — а (с-Ь) (16)
Сопоставляя формулы (15) и (16), можно вывести следующее правило для запоминания разложевия двойного векторного произведения:
Скалярное произведение крайних векторов надо взять коэффициентом при среднем векторе и вычесть из полученного вектора произведение другого вектора, заключенного во внутренние скобки, на скалярное произведет ние двух остальных векторов.