Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 22

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 144 >> Следующая


(а, 4- a3)-(bXс) = a, .(b х с) 4 а2- (Ь х с) a-[b X (C1 4 C2)] = a-(b Xc1) 4 а.(Ьх с3)

Поэтому

а-(Ьхс) = (ахі 4 O1J 4 а,к).[(Ьяі 4 Ьуj 4 bzк) х(cxi 4 c,,j 4 с,к)]

может быть представлено в виде суммы двадцати семи членов, однако только шесть из них отличны от нуля, именно те, в которых комбинируются i, j и к, так как все члены вида

Mjxjb Mjxi)

в которые входят два одинаковых орта, обращаются в нуль. Поэтому а-(Ьхс) = ахЬуСг — aJt2Cy 4 aJb2Cx — ауЬ^сг 4 azbxcu — агЬуСх (5) I 7

ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ

61

Мы взяли со знаком плюс три коэффициента при i.(jxk). j.(kxi), k.(ixj)

(ибо эти произведения равны объему куба с ребрами длины единицы) и со знаком минус три коэффициента при

i.(kxj) = — 1, j.(ixk)=—1, k.(jxi) = - 1

Выражение в правой части формулы (5) называется определителем третьего порядка из составляющих векторов a, b и си обозначается следу ющнм символом:

с «к I

"V Cv

(6)

Правило для раскрытия определителя 3-го порядка состоит в том, что мы должны приписать справа и слева от определителя по одной колонне (согласно схемы, приведенной здесь справа), составить произведения из трех элементов каждой из шести получающихся диагоналей и взять со знаком плюс произведения, отвечающие, диагоналям, идущим сверху слева вправо вниз, и со знаком минус три остальные произведения.

Укажем еще, что определитель 2-го порядкв раскрывается по формуле

Итак

<h,

а-(Ь хс) =

= aJ>v — «4>х

Ov (I2

Ь„ Ъ,

(7)

(8)

Эта формула, указывающая тесную связь векторно-скалярныз произведений и определителей 3-го порядка, дает, таким обрааом, также выражение объема параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и с.

Как важное применение этой формулы, выведем соотношение между девятью косинусами углов, составляемых осями двух координатных триэдров (фиг. 20). Выбирая за векторы а, Ь, в соответственно векторы j, j и к, мы получим, что

І »і ?i T1

aa

|32 ?S

+1

(9)

где нужно взять знак плюс или минус, смотря по тому, имеют ли оба триэдра одинаковую ориентацию или разную. 62

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Гл. I

Попутно отметим, что векторное произведение двух векторов a a b также можно представить в форме определителя, а именно:

axb =

і j k

aX aV аг

bx bv ьг

(10)

Для доказательства достаточно раскрыть определитель правой части этой формулы, получится формула (17) § 6.

4. Перейдем к рассмотрению двойного векторного произведения ах (Ьхс); этот вектор, с одной стороны, перпендикулярен к а, с другой стороны, будучи перпендикулярным к b X с, т. е. к перпендикуляру к плоскости, определяемой векторами b и с, он должен быть компланарен векторам b и с. Итак, вектор ах(Ьхс) направлен по линии пересечения плоскости, перпендикулярной к а, с плоскостью, компланарной векторам b и с.

Вектор ах(Ьхс), компланарный векторам b и с, можно разложить по этим векторам, так что

ах (bxc) = тЪ + па (11)

где тип — подлежащие определению скаляры.

Примем, что основная система координат есть левая система. Для определения т мы исключим л, для чего умножим обе с' части уравнения скалярно на вектор с', лежащий в

* плоскости векторов b и с, перпендикулярный к о

/ и направленный так, чтобы с', с и Ьхс образо-

вали левую систему. Фиг. 37, выполненная в плоскости векторов b и е, покааывает, что вектор с' нужно направлять в сторону вектора b (вектор Ьхс направлен от чертежа вперед). В результа-а»(Ь«с) те умножения получается

Фиг. 37 [ах(Ьхс)]-е'= т(Ь-с') (12)

Преобразуем векторно-скалярное произведение левой части но формуле (2):

(ах(Ьхс)Ьс' = [(Ьхс')хс'Ьа

Но двойное векторное произведение (bxc) Xс' можно вычислить непосредственно.

Вектор Ьхс имеет величину be sin (Ь, с) и направлен по перпендикуляру к чертежу (фиг. 37), вперед от чертежа. Поэтому вектор (Ьхс)хс' имеет длину be sin (Ь, с)-с' = cbc' sin {Ь, с) = cbc' cos (b, с') = с (Ь«с') и направлен по вектору с, а значит

(Ьхс)Xс' = е (Ь-с') (ах(Ьхс)Ьс' = (а»с) (Ь.с') I 7 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ

63

Подставляя это выражение в уравнение (12) и сокращая на Ь-с' величину, не равную нулю, если только Ь ве параллельно с, найдем

т = а.с (13)

Чтобы найти га, перепишем формулу (11) в виде

а X (с X b) = — mb — лс

Применяя только что найденный результат, сразу найдем

— п = а-Ь (14)

так что окончательная формула будет

ах (Ьхс) = Ь (я.с) — с (а-Ь) (15)

Эта формула остается справедливой и при коллинеарности Ь и с, так как тогда обе части равенства обращаются в нуль.

Отметим, что в двойном векторном произведении очень важно подчеркивать порядок перемножения. Так, например, вычисляя (а х b) х с, мы получим совершенно другой вектор:

(а X Ь) X с = — cx(axb) = cx(bxa) = Ь (а.с) — а (с-Ь) (16)

Сопоставляя формулы (15) и (16), можно вывести следующее правило для запоминания разложевия двойного векторного произведения:

Скалярное произведение крайних векторов надо взять коэффициентом при среднем векторе и вычесть из полученного вектора произведение другого вектора, заключенного во внутренние скобки, на скалярное произведет ние двух остальных векторов.
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed