Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично выводятся все остальные формулы преобразования составляющих вектора § 4.
Составим таблицу важнейших свойств скалярного произведения:
1) а-b = ab cos (а, b) (определение)
2) а-Ь = Ь-а
3) а-Ь = 0, если а = 0 или b = 0, или я^Ь
4) а-b = ±ab, если а и Ь коллкнеарны, в частности а-а = а?
та n т п
5) (2 0 -(20-22 a^
І=1 3=1 t=l )=1
6) тя-nb = тп (a^b)
7) a- b = axbx + a,Jby -j- агЬг
Разберем несколько примеров. 38
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. I
Задача 27. Дан прямолинейный треугольник ABC (фиг. 21). Вывести основную формулу прямолинейной тригонометрии
с» = a* + ft* — 2 ab cos С (15)
Для доказательства достаточно помножить обе части тождества
с = а + Ь
скалярно сами ва себя
йа = {а 4 b).(a -f- Ь) — а-а 4 2а.b 4 b-b = аг 4 2ab cos (я.Ь) Ъг
Но угол (а, Ь)=180°— С; следовательно, cos (a, b)= cos (180° — С) =—cos С-Otc юда
с2 = аг — 2ab cos С 4 Ь%
что и требовалось доказать.
Задача 28- Выведем несколько соотношений между сторонами и диагоналями параллелограмма.
Пусть стороны параллелограмма OABC (фиг. 6) представляют векторы а и Ь, так что OA = ВС = a, AC = OjB — Ь, тогда диагонали его представят векторы а 4 b = ОС и а — b = BA. Составим тождества.
(а 4 Ь)-(а 4 b) = a4 + 2а-Ь 4 Ь2
(a - Ь).(а — b) = аа - 2а-Ь 4 fta (16)
Складывая их, получим:
(а 4 Ь)г 4 (а - b)a = 2 (а2 4 й2) (17)
т. о. сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Вычитая нижнее тождество (16) из верхнего, иайдем:
(а 4 Ь)2 — (а - Ь)2 = 4а.Ь (18)
т е. скалярное произведение па сторон параллелограмма равно четверти разности квадратов диагоналей. Отметим, между прочим, что из этого результата можно сразу вывести выражение а-Ь через составляющие векторов а и Ы
(а 4 Ь)3 = (ах + Ьху 4 (о, 4 &ч)а 4 (аг 4 йг)а = = ахг 4 2ахЪх 4 Ьхг + ^2 4 2ajt>v 4 V 4 а/ 4- 2аА 4 ^2
(a - b)a = (ах - ЪХГ 4 (а,, - &„)* 4- (а, - ftz)a = = ахг - 2аА + Ki 4 а,,2 - 2aJ>v 4 V 4 а,2 - 2аД + К* 4 (а-Ь) = (а 4 Ь)2 - (а - b)a = 4 (,axbx 4 а А 4 aj>j Отсюда
a-b = a A 4 aj)y 4 a A I 5 СКАЛЯРНОЕ ИЛИ ВНУТРЕННИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВИКТОРОВ
39
Составим, наконец,
(а + Ь).(а — Ь) = а.а,— Ь-Ь = а? — Ь* (19)
Следовательно, скалярное произведение диагоналей параллелограмма равно разности квадратов сторон, поэтому диагонали параллелограмма тогда и только тогда взаимно перпендикулярны, когда а — 6, т. е. когда параллелограмм есть ромб.
Задача 29. Доказать, что работа равнодействующей R нескол ьких сил F1, F2, ... , Fn, приложенных к одной и той же точке, на перемещении S этой точки, равна алгебраической сумме работ составляющих сил. Ls
В самом деле, умножая скалярно на s обе части равенства
H = F1 + Fa + . . . + Fn
получим
R.3 = F1-S + Fa.s + ... + Fn-S (20) Фиг. 25
т. е. работа равнодействующей равна сумме работ составляющих.
Задача 30. Вывести формулу для косинуса суммы двух углов. Возьмем в плоскости ху (фиг. 25) два единичных вектора а и Ь, составляющих с осью X соответственно углы а и — ? (отсчитываем углы от оси X к оси у) и составим а-Ь. С одной стороны это есть косинус угла между векторами, т. е. cos (а + ?), с другой стороны это есть aJ>x jT Oyby + агЬг; но
ах - cos а, Oy = sin а, аг = О
bx = cos ?, by = — sin ?, b2 = 0 (21)
Сл едовательно
cos (а 4- ?) = cos а cos ? — sin a sin ? (22;
Задача 31. Векторы a и b заданы косоугольными составляющими ах, Ov, az и bx, by, bz\ найти аналитическое выражение для а-Ь.
Ответ вытекает из формулы (10), в которой надо подставить вместо i-j его значение cos (х, у), далее j-k = cos (у, z), k-i = cos (z, x)
a- b = axbx -f Oyby + a2b2 -f (axby + aj.ix) cos (x, y) + + IaJb1 + aj}x) cos (x, z) + (ауЬг + aj>v) cos (y, z) (23)
В частности длина вектора а, заданного своими косоугольными координатами ах, Ov, аг, выражается следующей формулой:
аг = ах2 + а/ + а22 + ZaxOy cos (гг, у) + 2ауаг cos (у, z) +- 2azax cos (? х) (24)
Задача 32. Доказать, что вектор х = Ь (а-с) — а (Ь-с) перпендикулярен вектору с. ІО
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
Задача 33. Доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Обозначим точку пересечения высот, опущенных из вершин А а В, через О (фиг. 26). Введем векторы OA = х, OB = у, ОС = z, тогда, как видно из чертежа:
а = г — у, Ь = х — z, о = у — х
Условие перпендикулярности OA к ВС и OB к AC дает:
х.а = х.(г — У) = X-Z — х-у = О y.b = у-(х — z) = у.X — y-z = О Складывая эти два равенства, найдем х-а — y-z = (х — у).Z = — C-Z = О
а следовательно ОС перпендикулярен к AB, так что О лежит и на высоте, опущенной иа точки С-
Другое доказательство основывается на решении задачи 12. Легко видеть, что в рассматриваемом случае
AM — b cos A, MB = a cos В, BK = е cos В КС = b cos С, CL = a cos С, LA = с cos А и, следовательно, условие пересечения Tpez высот BK. CL-AM = KC-LA-MB
выполнено.
Задача 34. Если радиусы-векторы вершин треугольника ABC суть г,, r2, T1, то найти радиус-вектор г точки пересечения высот этого треугольника.
