Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Формулу (15) очень легко вывести другим путем, если найти составляющие век-тора а X (b X с):
(а X (b X е)]х = Ov (Ьхс)2 — аг (Ь х с)„ = av (b ^c1l- — аг (V* — Ьхсг) = = Ьх (OvCv + UtCz) — сх (афу + афх)
прибавим и вычтем по aj>^cx, тогда получим:
[а X (Ьхс)Isc = bx (ахсх + O^v + a2cz) — сх (a A + aj)v + агЬг) = = Ъх (а.с) — сх (а-Ь)
Так как совершенно аналогичные формулы получаются для двух других составляющих, то имеем право написать векторное равенство
а X (Ьхс) = Ь(а-с) — с (а.Ь)
восстанавливающее формулу (15).
5. При циклической перестановке векторов а, Ь, с формула (15) приводит к трем разным векторам:
[ах(Ьхс)1 = Ь(а.с) — е(а-Ь) [Ь X (с X а) I = с (Ь-а) — а (Ь«с) fcx(ax b)] = а (с«Ь) — Ь (с-а) Чі
BRKTOPHAfl АПГВБРА
Гл. і
Складывая эти три равенства вместе, получаем тождество ах(Ьхс) + ЬX (сXа) + сX(аX b) = О
(17)
Наконец, важное применение формулы (15) состоит в выводе разложения данного вектора b на две составляющие, из которых одна параллельна, а другая перпендикулярна к заданному вектору а, А именно, положив в формуле (15) с = а, найдем
ах(Ьха) = Ь (а-а) — а (а-Ь) = Ьаг — а (а.Ь) решаем это уравнение относительно Ь:
Ь = it» + ^ ах (Ьх а)
(18)
Первый из слагаемых векторов правой части, очевидно параллелен а, а второй перпендикулярен.
Формула для разложения упрощается* если а будет единичный вектор:
b = (а-Ь) a -I- ах(Ьха) а = 1 (19)
Разобранные нами случаи произведений трех векторов играют большую роль з векторной алгебре. Произведения четырех и большего числа векторов могут быть сведены к низшим произведениям; мы их рассмотрим з качестве примеров.
Задача 56. Через точку M1 (rt) провести плоскость, параллельную «екторам а и Ь-
Если радиус-вектор какой-либо другой точки плоскости есть г, то вектор г — ті должен быть перпендикулярен к axb, т. е. должно быть
(ї — T1) • (а X b) =s О (20)
В декартовых координатах уравнение плоскости будет
X-X1 у — IJ1 а, а,,
Z — Z1
аг К
(21)
= («Л — а Al) — + я А) (у — 2/i) + (aj)v — avhx) (z— Z1) --- U
Задача 57. Вычислить (a х b)-(c х d).
Обозначим на время с х d = е; в векторно-скалярном произведении {axb')»c произведем перестановку
(а X b)-(cxd) = (axb)-e = a.(bxe) = a.[bx(cxd)l = =a.(e(b.d)— d(b-c)! = (а.с) (Ь-d) — (a-d) (Ь«с) = а.с а.<1 b>c b«d
(22)
В частном случае при d = а, найдем
(axb).(axc) = as (b-e) — (a-b) (a-c)
(23) I 7 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ 64
Из этой формулы легко вывести основную формулу сферической тригонометрии, для чего рассмотрим иа сфере единичного радиуса сферический треугольник ABC, радиусы-векторы вершин которого относительно начала координат пусть будут T1, га, rs (фиг. 38). Из формулы (23) при а и» T1, Ь = га, с = г3 получим:
(ГіXF2)-(rIXг,) = г2.гя — (Г,-T2Hr1.гя) (24)
Но если обозначить стороны треугольника через а, ?, Yi то
fj.r2 = cos у, rs.rs = cos a, r;,.T1 = cos ?
Вектор г, x г2, по величине равный sin ч, перпендикулярен к плоскости OAB, точно так же вектор T1 х г3, по величине
равный sin ?, перпендикулярен к плоскости О АС. Угол между векторами г, x rs и г; x г„ равен поэтому углу между плоскостями OAB и OAC, т. е. равен двугранному углу А, а поэтому
(ri XriHr1 xr„) = sin 3 sin Y cos А
Подставляя все найденные выражения в формулу (24), найдем
sin 0 sin Y cos А = cos а — cos ? cos у
или, как эту формулу обычно пишут:
cos а = cos ? cos y + sin ? sin y cos A (25)
Задача 58. Вычислить (axb)x(exd).
Утот вектор должен лежать как в плоскости векторов а и b (ибо он 'перпендикулярен к axb), так и в плоскости векторов cad; следовательно, ои направлен по линии пересечения плоскости векторов а и b с плоскостью векторов cad.
Чтобы вычислить его, заменим в формуле
(axb)xe = b (а«е) — а (Ь-е)
вектор с Ba cxd, тогда получим искомую формулу:
(axb)x(exd) = bja.(cxd)] — alb»(cxd)l (26)
Эта формула дает разложение произведения по векторам а и Ь; но его можно разложить также в по векторам end:
(;>xb)x(ex d) = — (cxd)x(axh) = - dfc-(axb)] + с[<Ь(ахЬ)] (27)
Если мы сравним два найденных выражения для произведения четырех u-екторов, то получим следующую связь между четырьмя произвольными векторами а, Ь, с и d:
afd-(bxe)] + hfd-(cxa)] + cfd.(axb)] - d [a-(bxe)] = 0 (28)
Б н. Е. Кочлн 66
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБР А
Гл. I
Если а, Ь, с не компланарны, то можем решить это уравнение относительно d:
л — я d'(bxc) ¦ d'(cxa) , d»(axb) f2qv
d - a a.(bxc) + Ь a.(bxo) + * a.(bxc)
Эта формула дает в явной форме разложение вектора d по трем некомпланарным векторам a, b и с.
Особенно простой вид принимает формула (26), если положить d = а
(axb)x(axc) = a fa-(bxc)] (30)
Что в этом случае произведение четырех векторов коллинеарно с а, исно из того соображения, что плоскость векторов а и b и векторов а и с' пересекаются очевидно по а.
З а д а ч а 59. Вычислить (bxc)-[(сх а) х (а х Ь)]. Прежде всего вычисляем
(с X а) X (а X b) = (axb)x(axc) — а [а.(Ьхс)]
Поэтому
(ЬX с)¦ [(сXа)X (а X Ь)] = [а-(Ьхс)1[(Ьхс)-а] = [а-(Ьхе)]2 (31)
