Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Остановимся сначала на скалярном произведении двух векторов.
Вспомним простейшее определение работы А, производимой постоянной силой P на прямолинейном перемещении з при условии, что сила составляет с перемещением постоянный угол а
A-Fs cos а (1)
Выражения, построенные аналогично выражению (1), встречаются очень часто в математике и физике. Поэтому представляется целесообразным ввести операцию составления из двух векторов а и b выражения, аналогичного (1). Введем поэтому следующее определение:
Скалярным или внутренним произведением двух векторов а и b называется произведение длин обоих векторов, умноженное на косинус угла между обоими векторами.
Будем обозначать скалярное произведение векторов а и b точкой, т. е. a ^b; итак
a»b = ab cos (a, b) (2)
Среди других обозначений скалярного произведения отметим, как наиболее употребляемые, еще такие Ч
ab и (а, Ь)
В результате скалярного умножения получается скаляр, что и объясняет название скалярного произведения. Так, в вышеуказанном примере у нас получилось выражение для работы — скалярной величины., в виде скалярного произведения вектора силы F и вектора перемещения s.
Скалярное произведение векторов а в b положительно, если эти векторы составляют между собой острый угол, в отрицательно, если угол между а и b — тупой. В частности a-b = 0, если b перпендикулярно а (так как тогда cos (a, b) = cos -j-я = 0). Если а и b имеют одинаковое
1 Последнее из указываемых обозначений для скалярного произведения было принято в предыдущих изданиях книги Н. Е. Кочина.
Однако в настоящее время обозначения «точка» для скалярного произведения векторов, т. е. a b, в «косой крест» для векторного лровзведенин векторов, т. е. а X Ь (определение векторного произведения; см. следующий § 6), нодучвлв более широкое распространение в нашей научной литературе, чем ранее пронятые символы (а, Ь> для скалярного произведения я [а. Ь] для векторного произведения.
3* 36
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
направление, то cos (a, b) = cos 0 = 1, поэтому a-b =ab, произведению длив обоих векторов (отсюда ясно иаимено ванне всей операции умножением). В частности а-а = а2; если а как раз противоположно Ь, то cos (a, b) = — 1 и a-b = — ад.
2. По самому определению скалярное произведение коммутативно, т. е. не меняется от перестановки множителей:
а*Ь = Ь.а (3)
Группируя в формуле (2) разными способами множители, составляющие а»Ь, мы получим:
a«b == a cos (a, b) ¦ b = а„Ь
(4)
a-b =s b cos (a, b)-a = Ьла
т. е. скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного иг векторов на проекцию другого вектора на направление первого.
Отсюда сраву выводится дистрибутивность скалярного произведения:
a*(b -f- с) = a»b + а«с (5)
т. е. мы имеем право перемножать почленно, как в обыкновенной алгебре. В самом деле, но теореме о проекции геометрической суммы имеем
(Ь + с)а = Ьа+ са (6)
умножая обе части этого уравнения на а, получим формулу (5), что и требовалось доказать.
Таким образом, мы имеем право раскрывать скобки, как в обыкновенном умножении, например:
(а + Ь) • (с + d) = а.с + b-c + a.d + b-d (7)
Очевидно далее, что скалярный множитель можно выносить из-под знака скалярного произведения
ma»nb = тп (а-Ь) (8)
т. е. скалярное произведение ассоциативно по отношению к скалярному множителю.
Составляя скалярное произведение основных ортов, получим
i.i = j.j - k.k = 1, i.j = j-k = к-і = 0 (9)
При помощи этих формул легко найти выражение а*Ь через координаты:
а-Ь = (aj + a„j + агк)-(йхі + bvj + Ьг k) = == aj>„ (ім) + aj)y (i.,j) + axbz (i«k) + Oybx (j'i)+aviu (j-j) + аф7 (j>k) + + aj>x (k-i) + агЬу (k.j) + агЪ2 (k«k) = aj>x + aj)y + агЬг (10) I 5 СКАЛЯРНОЕ ИЛИ ВНУТРЕННИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВИКТОРОВ 37
Так как выражение a* b не зависит от координатной системы, то выражение aj>x 4- а„by + aj>2 инвариантно по отношению ко всем прямоугольным прямолинейным координатным системам, т. е.
афх + a^by + azbj = axbx + афу + а А (11)
Эту инвариантность можно проверить непосредственно по формулам (8) и (6) § 4.
Из формулы (10) легко вывести, далее, условие перпендикулярности двух векторов, заданных своими составляющими, а именно:
«А + афч -I- а А = 0 (a J_ Ь) (12)
При помощи символа скалярного произведения можно легко представить ряд важных величин. Составим, например, скалярное произведение вектора
а-і = ах (13)
получилась проекция вектора а на направление орта і.
Если вектор а сам есть единичный вектор, то скалярное произведение а-і дает косинус угла между направлением вектора а и осью х. Так, например, выбирая за вектор а орт j (фиг. 20), мы найдем, что i-j = соз (х, у) = од. Таким образом, все девять косинусов таблицы § 4 могут быть представлены скалярными произведениями соответствующих ортов.
Далее, при помощи скалярных произведений очень просто вывести формулы перехода от одной координатной системы к другой, например:
O5 = а. і = (ах і + Oj,j + a2k).i = = ах (і.і) -I- Ov (j.I) + a, (k.i) = axai H- ay?, + агу, (14)
