Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
X = — X, у = — у,. Z = — 2 (24)
то составляющие полярного вектора изменят свой знак па обратный, в то время как составляющие аксиального вектора останутся без изменения.
Заметим, что при зеркальном отображении и при инверсии левая система координат переходит в правую и обратно, так что пока мы остаемся и области одних левых или одних правых систем координат, никакого различия между полярными и аксиальными векторами нет.
Когда оке мы переходим от левой системы к правой или обратно, то-аксиальный вектор изменяет свое направление па прямо противоположное, в то время как полярный чектор остается без изменения.
Это н вызывает то различие в поведения составляющих вектора, которое было выше указано.
Значение различия между аксиальными а полярными векторам» состоит к том, что, подобно тому как складывать, вычитать и приравнивать АЮжно только величины одинакоиой размерности, так точно векторы разного рода не могут быть складываемы или сравниваемы. В самом деле, нначе при переходе от левой системы координат к правой составляющие некоторых членов суммы или равенства изменили бы свой знак на обратный, в то время как другие члены сохранили бы его, при этом значение суммы изменилось бы, а равенство нарушилось.
Оказывается, что и екаляры, подобно векторам, надо делить на две группы: скаляры первого рода, пли просто скаляры, и скаляры второго рода или псевдоскалярм. Все величины скалярного характера, получающиеся в результате измерения какого-либо физического объекта, например масса, температура и т. д.. являются скалярами первого рода; напротив, некоторые из выражений, получающихся в результате математических операций над векторамп,54
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
могут изменять свой знак на обратный при переходе от левой системы к правой или от правой системы к левой.
Такие величины называются псевдоскалярами. Так, например, скалярное произведение полярного и аксиального векторов является псевдоскаляром.
8. Мы указывали в самом начале этого параграфа, что момент силы F относительно начала координат О есть rxF, где г есть радиус-вектор точки приложения силы. Обозначая момент силы F относительно точки О символом та (F), будем поэтому иметь
m0 (F) = гх F (25)
В статике доказывается, что силу, приложенную к твердому телу, можно, не изменяя ее действия на твердое тело, переносить вдоль линии ее действия (иными словами, сила, приложенная к твердому телу, есть передвижной вектор). Докажем, что при таком переносе момент силы не меняется. В самом деле, пусть радиус-вектор новой точки приложения силы есть г' (фиг. 34), так как мы можем переносить точку приложения
силы только вдоль самой силы, то вектор г' — г должен быть коллинеарен с F, так что
г- — г = XF, г' = г + XF
Вычислим новый момент
г'X F= (г -I- XF) X F = г X F + X(FxF) =rxF
Видим, что момент не изменился. Докажем теорему Вариньона: момент относительно какой-нибудь точки О равнодействующей двух сил F1 и F2, приложенных в одной и той же точке, равен сумме моментов этих сил.
Если О выбрать за начало координат я обозначить радиус-вектор точки приложения силы через г, то теорема явится непосредственным следствием формулы
гх (Fi + F2) = rx F1 + гх F2 (26)
Рассмотрим систему сил F1, г2 - . ., Fti, приложенных к твердому телу. Геометрическая сумма этих сил называется главным вектором сил:
В = F1 + F2 + . . . + Fn (27)
Геометрическая сумма моментов данных сил относительно точки О называется главным моментом системы сил относительно точки О:
L0 = I1XF^r1XFi+... + т„ X F„ (28)
где T1, г2.....г„ — радиусы-векторы точек приложения сил F1, F2,...,Fn
относительно точки О.
Фиг 34§ fi ПИКТОРНОЕ ИЛИ ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ 55
Изучим, как изменяется главный момент системы сил при различном выборе точки О. Возьмем точку С, радиус-вектор которой есть гс, и вычислим главный момент системы относительно точки С\ радиусы-векторы точек приложения сил относительно точки С суть очевидно
rI = rI — гс, га' = га — гс, . . . , r„ = гп — гс
Поэтому
Lc = г, X F, + . . . + r„' X F11 = Of1 — rc) X F1 + . . . + (г„ — гс) xF„ = = T1X F1 4- . . . + rnX Fn — rcЛ F1 — , , , — rcx Fn = = L0 - TcXfF1 + ... + FJ -
= L0 — (rc X R) (29)
Если R = 0, т. е. главный вектор системы сил равен нулю, то Lc= L0, т р. главный момент системы в атом случае постоянен. Бели же R не равно нул ю, то главный момент системы определяется для любой точки С но формуле (29).
Докажем, что скалярное произведение Lc> R есть величина постоянная. В самом деле,
Lo-R=L0-R-(TcXR)-R
Но так как rcxR перпендикулярно к R, а скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, то
Lr-R = L0-R (30)
Что и требовалось доказать.
Главный вектор системы R и скалярное произведение L0-R называются статическими инвариантами системы, потому что они не зависят от того, какая точка О выбирается за основную.
Найдем составляющие главного вектора и главного момента:
Rx = X1 + . - . + Xn Rv =Y1 + ...+Yn R1 =Z1 + . . . + Zn