Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 19

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 144 >> Следующая


X = — X, у = — у,. Z = — 2 (24)

то составляющие полярного вектора изменят свой знак па обратный, в то время как составляющие аксиального вектора останутся без изменения.

Заметим, что при зеркальном отображении и при инверсии левая система координат переходит в правую и обратно, так что пока мы остаемся и области одних левых или одних правых систем координат, никакого различия между полярными и аксиальными векторами нет.

Когда оке мы переходим от левой системы к правой или обратно, то-аксиальный вектор изменяет свое направление па прямо противоположное, в то время как полярный чектор остается без изменения.

Это н вызывает то различие в поведения составляющих вектора, которое было выше указано.

Значение различия между аксиальными а полярными векторам» состоит к том, что, подобно тому как складывать, вычитать и приравнивать АЮжно только величины одинакоиой размерности, так точно векторы разного рода не могут быть складываемы или сравниваемы. В самом деле, нначе при переходе от левой системы координат к правой составляющие некоторых членов суммы или равенства изменили бы свой знак на обратный, в то время как другие члены сохранили бы его, при этом значение суммы изменилось бы, а равенство нарушилось.

Оказывается, что и екаляры, подобно векторам, надо делить на две группы: скаляры первого рода, пли просто скаляры, и скаляры второго рода или псевдоскалярм. Все величины скалярного характера, получающиеся в результате измерения какого-либо физического объекта, например масса, температура и т. д.. являются скалярами первого рода; напротив, некоторые из выражений, получающихся в результате математических операций над векторамп, 54

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Гл. I

могут изменять свой знак на обратный при переходе от левой системы к правой или от правой системы к левой.

Такие величины называются псевдоскалярами. Так, например, скалярное произведение полярного и аксиального векторов является псевдоскаляром.

8. Мы указывали в самом начале этого параграфа, что момент силы F относительно начала координат О есть rxF, где г есть радиус-вектор точки приложения силы. Обозначая момент силы F относительно точки О символом та (F), будем поэтому иметь

m0 (F) = гх F (25)

В статике доказывается, что силу, приложенную к твердому телу, можно, не изменяя ее действия на твердое тело, переносить вдоль линии ее действия (иными словами, сила, приложенная к твердому телу, есть передвижной вектор). Докажем, что при таком переносе момент силы не меняется. В самом деле, пусть радиус-вектор новой точки приложения силы есть г' (фиг. 34), так как мы можем переносить точку приложения

силы только вдоль самой силы, то вектор г' — г должен быть коллинеарен с F, так что

г- — г = XF, г' = г + XF

Вычислим новый момент

г'X F= (г -I- XF) X F = г X F + X(FxF) =rxF

Видим, что момент не изменился. Докажем теорему Вариньона: момент относительно какой-нибудь точки О равнодействующей двух сил F1 и F2, приложенных в одной и той же точке, равен сумме моментов этих сил.

Если О выбрать за начало координат я обозначить радиус-вектор точки приложения силы через г, то теорема явится непосредственным следствием формулы

гх (Fi + F2) = rx F1 + гх F2 (26)

Рассмотрим систему сил F1, г2 - . ., Fti, приложенных к твердому телу. Геометрическая сумма этих сил называется главным вектором сил:

В = F1 + F2 + . . . + Fn (27)

Геометрическая сумма моментов данных сил относительно точки О называется главным моментом системы сил относительно точки О:

L0 = I1XF^r1XFi+... + т„ X F„ (28)

где T1, г2.....г„ — радиусы-векторы точек приложения сил F1, F2,...,Fn

относительно точки О.

Фиг 34 § fi ПИКТОРНОЕ ИЛИ ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ 55

Изучим, как изменяется главный момент системы сил при различном выборе точки О. Возьмем точку С, радиус-вектор которой есть гс, и вычислим главный момент системы относительно точки С\ радиусы-векторы точек приложения сил относительно точки С суть очевидно

rI = rI — гс, га' = га — гс, . . . , r„ = гп — гс

Поэтому

Lc = г, X F, + . . . + r„' X F11 = Of1 — rc) X F1 + . . . + (г„ — гс) xF„ = = T1X F1 4- . . . + rnX Fn — rcЛ F1 — , , , — rcx Fn = = L0 - TcXfF1 + ... + FJ -

= L0 — (rc X R) (29)

Если R = 0, т. е. главный вектор системы сил равен нулю, то Lc= L0, т р. главный момент системы в атом случае постоянен. Бели же R не равно нул ю, то главный момент системы определяется для любой точки С но формуле (29).

Докажем, что скалярное произведение Lc> R есть величина постоянная. В самом деле,

Lo-R=L0-R-(TcXR)-R

Но так как rcxR перпендикулярно к R, а скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, то

Lr-R = L0-R (30)

Что и требовалось доказать.

Главный вектор системы R и скалярное произведение L0-R называются статическими инвариантами системы, потому что они не зависят от того, какая точка О выбирается за основную.

Найдем составляющие главного вектора и главного момента:

Rx = X1 + . - . + Xn Rv =Y1 + ...+Yn R1 =Z1 + . . . + Zn
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed