Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно решению задачи 12 мы имеем
г = CilT1 + aar2 + а„г8 гДе а1> а2> аз должны определять из равенств
as BK a, CL a4 AM , , .
"57 = KC- *aT = ~~LB ' ^7 = MB' •+a.+ 0.=1
Ho в нашем случае имеем, например
BK = с cos В, КС — b cos С
Поэтому
as с cos В
O9 b cos С
Но по теореме синусов
е __зід С
Ь sin В
Следовательно
а» = t gC
а2 tg В I 5 СКАЛЯРНОЕ ИЛИ ВНУТРЕННИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВИКТОРОВ
41
И аналогично
ІС- ^-?41 + аа + аз
Отсюда легко получить
а **А а_- tSg ___tgC
1 tg/t +tjr B + tgC ' ** tgyl + tg? + tgC' tgA + lgB -f-igC
Следовательно, для точки пересечения высот треугольняка получаем выражение
П tg А + rs tg В + п ig С Ig A + ? В+ tg С
Задача 3S. Найти уравнение плоскости, перпендикулярной к заданному вектору а и проходящей через данную точку M1 (I11).
Возьмем любую точку M (г) плоскости, тогда, при перпендикулярности плоскости и вектора а, вектор M1M = г — T1 будет перпендикулярен к вектору а и обратно, «ели вектор M1M перпендикулярен к а, то точка M лежит в плоскости; выразим это условие перпендикулярности векторно:
(г — T1).а — 0, 1-а — T1-а = О
т. е.
г. а — T1 «а
представляет уравнение искомой плоскости. Вводя координаты JB1, ylt Z1 точки M1 и составляющие ах, Ov, аг вектора а, найдем аналитическое уравнение плоскости
ах (X — Z1) + Ov (у — ^1) +¦ az (z — Z1) = О
или
ахх + ауу + OzZ — UxX1 + OlyJf1 + агг,
Задача 36. Найти расстояние от точки M1 (?) до плоскости
г.а = а (25)
Плоскость (25) перпендикулярна к а; в самом деле, пусть две точки M' (г') и М" (г*) лежат в плоскости, тогда
г' -а — a, r".a = а
следовательно (г' — **).а = 0, т. е. M'М" перпендикулярно к а, так что всякая прямая плоскости перпендикулярна к а, что может быть только при условии перпендикулярности плоскости и вектора а.
Легко написать уравнение перпендикуляра, опущенного иа точки M1 (гх) на плоскость (25):
г = T1 + аА, (26)
где А, — переменный параметр, пробегающий все значения. Найдем точку пересечения этого перпендикуляра с плоскостью, для чего надо совместно решить уравнения (25) и (26). 42
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
Подставляя выражение для г из уравнения (26) в (25), найдем: (rj + аЗО-а = a, r^a + а%% = а, к = а
Самый перпендикуляр представляется вектором А,а, длина же его
J _ I ^a I _ Iа rI a'l __ I g - (aSTcI + а„У1 + aZZ1) [
' 1 а у «х4 + V + а И
В частности расстояние d0 от начала координат до плоскости (25) выражается формулой:
^0 = v««' + v + az2 (28)
Задача 37. Точка M (г) движется с постоянной скоростью v; в начальный момент она находилась в точке M0 (ra); узвать, в какой, момент она встретит плоскость, заданную уравнением
г. а S= a
Очевидно, точка M пробегает прямую
г = г0 4- V«
a надо определить момент U отвечающий пересечению этой прямой с плоскостью; вставляем выражение для г в уравнение плоскости
(г0 + vf).а = а, г„.а + (v-а) t = а
Отсюда
t = а~~г»"а а ~ (ахх» + aVilo + az?a) va + Vvav+
Задача 38. Найти уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка, соединяющего две точки M1 (T1) и Mi (г2), и перпендикулярной к этому отрезку.
Ответ. r.fr - F2) =-і-(Гіа - T22)
Задача 39. Найтв уравнение сферы радиуса а с центром в начала координат, а также уравнение касательной плоскости к сфере в точке сферы M1 (rt).
Уравнение сферы, как геометрического места точек, удаленных от начала координат на расстояние а, имеет, очевидно, следующий- вид:
г* г = аа
или в координатной форме:
я? + у* + г» = а2
Касательная плоскость проходит через точку M1 (It1) и перпендикулярна к вектору rt, следовательно, ее уравнение можко написать в таком виде:
г.T1 — T1-T1 = а8, или XX1 + у у-і + ZZ1 = а* I 5 СКАЛЯРНОЕ ИЛИ ВНУТРЕННИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВИКТОРОВ
43
Задача 40. Рассмотрим сферу радиуса а с центром в начале координат. Две точки, лежащие иа одиом луче, проходящем через начало координат, и находящиеся иа таких расстояниях R и R' от последнего, что произведение RR' — а2, называются гармоническими. Доказать следующее свойство гармонических точек: отношение расстояний любой точки сферы до двух гармонических, точек есть величииа постоянная.
В самом деле, если радиус-вектор одной гармонической точки P есть Xa, причем J а I = а, то радиус-вектор другой гармонической точки Q будет -І- а. Возьмем теперь произвольную точку M (г) иа сфере, так что
г. г = о?
Составим выражения для MP2 в MQ2: MP* = (г — Xa).(г — Xa) = гт — 2Xa.r + Х,2а.а = а2 — 2Х.а-г + Х2а3
MQt = (г — у а)*(г ~ X а) = г'г — ^ T а"г 3?а"а = = I2 -2 1а.г + ^ Oi
Очевидно, AfjPa = X2MQi, так что MP = XMQ, что и требовалось доказать.
Задача 41. Какой угол составляют между собой два вектора: а = і 4- j — 4к, Ь = і — 2j + 2к
Ответ. 135°.
Задача 42. Какой угол составляют между собой два вектора а и Ь, если известно, что вектор а + ЗЬ перпендикулярен вектору 7а — 5Ь, а вектор а — 4Ь перпендикулярен вектору 7а — 2Ь?
Ответ. 60°.
Задача 43. Пусть г есть радиус-вектор точки в плоскости. Какая кривая выражается уравнением г. (г — 2а) = 0? Какое свойство этой кривой вытекает непосредственно из только что написанного уравнения кривой?
