Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Проекцию вектора а на направление и мы будем обозначать Ou. Проводя через точку А до пересечения с плоскостью, перпендикулярной кпи проходящей через В, прямую АВ°, параллельную и очевидно равную А' її, из прямоугольного треугольника ABB" найдем, зводя угол q> между векторами а в и:
= acos<p (1) Фиг. 16
Бслн ф не превышает -j- л, это следует сразу из рассмотрения прямоугольного треугольника ABB" а того обстоятельства, что в этом 24
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
случае А'В" направлен одинаково с и. Если же <р превышает — я, то (фиг. 17)
AB" = a cos (л — ф) (2)
Но в этом случае AB" направлен противоположно и, поэтому
Ом = — AB" = — a cofe (я — ф) = a cos ф (3)
Следовательно, всегда проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между векторам и осью. g Мы можем рассматривать проекцию вектора а
i\ на направление и как вектор; тогда мы будем
I обозначать этот вектор через а„; очевидно,
-----1—и *¦ а„ = Ouи = a cos ф и (4)
Фаг. 17 2. Теорема. Проекция геометрической суммы век-
торов на какое-либо направление и равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на то же направление:
(ai + B3 + . . . + an)tt = аш + O2u + . . . -J- Om (5)
Достаточно, очевидно, доказать теорему для суммы двух векторов, т. е. из
с = а + Ь (6) Лі
вывести
с„ = а„ + Ьи (7)
Докажем предварительно, что если на оси имеются три точки O1, аа, а2, то всегда
~в, ^T7
а5а2 + O2O8 + OsO1 = о (8) фиг lg
если брать отрезки ata} со знаком плюс или минус, смотря по тому, совпадает ли направление OiO, с направлением оси или ему противоположно (фиг. 18).
В самом деле, одна из точек O1, O81 as лежит между двумя другими; пусть, например, O3 лежит между O1 и а2; тогда
ai<z3 + At3O5 = «цоа
Отсюда, перенося все в правую часть и замечая, что O2Os = — osaa, O2O1 = — O1O3, найдем уравнение (8).
Аналогично рассматриваются случаи нахождения O1 или а2 между двумя другими точками. Так как (фнг. 18)
Ou = OiO2, Ъи = O2O2, Cu = O1Oj (9)
го в силу (8)
л* + к - ctt = о (10)
что и требовалось доказать. І з ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА HA КАКОЕ-ЛИБО НАПРАВЛЕНИЕ
25
3. В § 2 мы видели, что всякий вектор d можно разложить по трем некомпланарным векторам а, Ь и с. Возьмем за векторы а. Ь, с взаимно перпендикулярные единичные векторы, направленные по трем осям прямолинейной прямоугольной системы координат Oxyz (фиг. 19). Эти единичные векторы называются основными векторами или ортами и обозначаются i, j, t-
Назовем проекции вектора а по направлениям i, j, к или, что то же, по осям X, у, Z через ах, Oy, аг; тогда при разложении вектора а по векторам i, j, к мы получим
a = a* + ay + аг = axi + av j + агк (11)
В том, что коэффициентом при і является ' ах можно еще убедиться, составляя проекции обеих частей равенства (11) на ось х, пользуясь теоремой о проекции геометрической суммы и принимая во внимание, что проекции j и к на ось х, очевидно, равны 0.
Проекции ах, Ov, а, называются прямоугольными координатами или составляющим и, или слагающими, или компонентами вектора а.
-Они однозначно определяются по формуле (1) в виде
ar = a cos (а, х), ау — a cos (а, у), аг = a cos (а, г) (12)
Обратно, если мы зададим вектор а его составляющими Oxt а„, аг, то мы полностью определим его. В самом деле, его длина получается, как диагональ прямоугольного параллелепипеда, по теореме Пифагора:
a = VrOx1 + V-I- а'2 (13)
Направление же вектора а получится из формулы (12):
cos (а, х) = , cos (а, у) — , cos (а, г) = (14)
Возвышая три равенства (14) в квадрат и складывая, получим в силу (13)
cos2 (а, х) + cos2 (а, у) + cos2 (a, z) = 1 (15)
соотношение, справедливое для всякого вектора а.
4. Отметим, что различают два рода прямоугольных прямолинейных координатных систем, а именно: правую и левую системы. В левой системе (фиг. 19) вращение от оси х кратчайшим образом к оси у вокруг оси г
Z
Фиг. 19 26
PBKTOP В АЯ AJIT В BPA
Гл I
происходит по часовой стрелке (в правой против часовой стрелки); если мы одновременно с вращением от оси X к оси у будем перемещаться вдоль оси г, то получим движение винта с левой нарезкой, при левой системе, и соответственно аинта с правой нарезкой (пробочника), при правой системе. Наконец, можно указать еще правило правой а левой руки. Направим большой, указательный а средний пальцы соответственно по осям X, у и г, тогда правая рука укажет соотношение осей з правой системе, а левая в левой. Мы будем в дальнейшем пользоваться как правой, так Я левой системами.
5. Если два вектора равны между собой, то их координаты равны между собой и обратно, т. е. еслв
а = Ь (16)
то
ах = bx, Ov = 6„, Ut = Ьг (17)
Это — непосредственное следствие единственности разложения вектора по трем некомпланарным направлениям.
Координаты геометрической суммы нескольких векторов равны алгебраическим суммам координат слагаемых векторов, т. е. если
Ь — a, + a, -f- . . , + а„ (18)
то
bX = «1а + + • • • + «я»
