Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
1 — cos (я, ж) = cos' (Ж, х) + cos2 (Ж, у) + cos2 (ж, г) = ¦ Stia + ?,2 + ris = 1 Gta'4 + ?a" + Гаг = 1
а»2 + ?s* + гза = 1 (5)
О = cos (у, г) = cos (у, х) cos (г, х) -J- cos (у, у) cos (ї, у) + cos (у, г) cos (2, z) = — ага* + ?a?s + Y*Ya = ®
азаі + ?a?i + Y3Vi = О аіаг + ?i?a + YiY* = O
Если мы будем рассматривать систему Oiyz как старую, а систему Oxy Z как новую, то получим шесть совершенно аналогичных соотношений:
Ліа + «а' + 013і = 1, ?iy + ?'Y« + ?»Ys = 0
?i2 + ?a2 + (?2 = 1, Yiai + Г**« + Y*03 = O (6)
Tl2 +- Yas + T»* = 1. oi?i + <*»?« + ааЗа = О
Напишем теперь новые компоненты вектора а. По формуле (1)
ах = ах cos (я, х) -I-Ov cos (я, у) + аг cos (і, г) (7)
ах — аяа, + au?, + аг-у,
Щ = аха2 + a„?a + агу2 (8)
aj = O5cO11 + a„? з + агЦз
Обратно, Ох, Oy, аг выразятся через ах, aj, ат2 по следующим формулам:
Лх = + Щръ + Iija3
«w = Oi?i + au? а + (9)
а.1 = OSYi + aSYa + а~'Чз зо
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. І
Как частный случай, отсюда можно получить преобразование координат при переходе от одной системы координат к другой, имеющей то же начало, системе координат.
ВозьМем точку M а соединим общее начало обоих координатных триэдров О с точкой М.
Полученный радиус-вектор г точки M будет иметь в старой координатной системе координаты х, у, z, а в новой координатной системе координаты X, у, Z. По формулам (8) и (9) будем иметь:
X = а\х 4- ?ii/ 4- Yiz, X = аіЖ 4- anj + азі у = ааж + $зу + Tгг, у = ріж + + ?sz (10)
Z = aax + ?ay 4- rsz, Z = + угу + y»z
3. Когда мы- задаем вектор его составляющими в какой-нибудь системе, то мы тем самым подразумеваем, что его составляющие в любой другой системе будут определяться по формулам (8) преобразования компонентов вектора. Но можно задавать вектор еще другим способом, а именно указать некоторый способ вычисления его составляющих в любой координатной системе. В последнем случае надо еще проверить, выполняются ли формулы (8), когда мы от одной системы координат переходим к любой другой.
В качестве примера положим, что компоненты х, у, z радиуса-вектора г суть некоторые функции параметра t; определим составляющие нового вектора у формулами:
dx dy dz f4 і ч
для всякой координатной системы. Проверим, что это действительно вектор
_ cte _ d (H1X + ?ty + Tig) ^ „ fteIR dV , =
v. _ _ _ _ ж __ + pi _ + т, dt =
= Ct1P3- 4- ?it)v + Y1W2 (12)
(вц ?i> Ti дифференцировать не надо, так как это суть постоянные коси, нусы углов между неподвижной осью S и неподвижными же осями X1 у, г), аналогичные формулы получатся для других составляющих. Действительно, V есть вектор.
Отметим еще несколько следствий из выведенных формул.
В § 3 была выведена формула (13), дающая длину вектора через его компоненты
Ot = Os* 4- Oy3 + а* (13)
Здесь выражение слева не зависит от того, в какой координатной системе вычисляются компоненты вектора ах, Ov, аг, поэтому выражение ах* + Ov2 + агг сохраняет свое значение при всех переходах от одной прямоугольной координатной системы к другой; в этом случае говорят об § 4
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
31
инвариантности ах" + а„г + аг* для всех таких переходов. Составляя выражение as2 + ej* + а?2 по формулам (8) в приравнивая его я*2 + CLy + аД мы сразу получили бы все соотношения (6)
Задача 17. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника, вершины которого заданы координатами (Z1, у,, г,), (ial г:), (za> Уз, г,).
Do формуле (29) і 2 имеем для радиуса-вектора рассматриваемой точки
следо вательно
_ _ X] + Xl + 1 X--g—
П + Г» + ft 3
_ Vi + уа + ga У - з ~
__ Z1 + га -)- г.
(14)
(15)
Задача 18. Найти координаты центра тяжести системы трех материальных точек Mu М%, Мя, в которых сосредоточены массы mi, mt, ms По формуле (34) §2:
r _ TOjr1 + тагг + тггь
т.\ 4- TOa 4-tos
(16)
отсюда, проектируя на оси х, у, г, находим'
х =
TO1Oi1 "t ¦ tii'iXt -f- maxg Тої + TOj + ТО, 1
У =
+ 'nVJi + TOaSft
то, + TOs + TO8
-J- грдог -?- ггдев Toj 4- Тоа -J- Ws
(17)
ФИГ. 21
Задача 19. Рассмотрим Д ABC (фиг- 21) а выведем некоторые формулы прямолинейной тригонометрин.
Спроектируем ломаную линню ACB и ее замыкающую на AB, по теореме о сумме проекпий мы получим:
о cos В + b cos А — с (18)
циклической перестановкой получим отсюда еще две формулы:
Ь cos С + с cos В = а, с cos А + a cos С «= Ь
Спроектируем теперь ту же ломаную линию в ее замыкающую на перпендикуляр DC к AB.
Проекция замыкающей на перпендикулярное направление будет О, проекция AC есть b sin А. проекция CB есть — а sin й, следовательно
b sin А = а зіп В
точно так же найдем две другие формулы
с sin В = 6 sin С, a sin С = sin А
в результате получаем теорему синусов: 32
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
Задача 20. Впишем в круг единичного радиуса (фиг. 22) правильный n-угольник PePi . . • Pw-J и пусть сторона P0P1 составляет с осью
Ox угол ф0, каждая следующая сторона будет составлять с осью Ox угол на 2 я/я больше, чем предыдущая, так что
