Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Фяг. 14
2* 20
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. I
Прежде всего из подобия треугольников OCD и OAB заключаем, что
гд = Irc, г„ = Irn (32)
где I есть совершенно определенное число — коэффициент подобия. Впрочем, формулы (32) можно вывести и не прибегая к теореме о подобии треугольников; прежде всего в снлу коллинеарности с одной стороны гл н Tc, с другой стороны CD в AB и, наконец, Гц и гв, имеем
тл = йгс. AB = hCD, Гв = UTd
Но так как
гв = гд + AB, TD = Tc + CD
то
тА + AB = Irc + Л CD — iarD = ^rc + IfiD Отсюда и вытекает
1,=1, к = I
т. е. теорема о подобии треугольников и одновременно вторая формула (32). Теперь пишем уравнения прямых AD н ВС:
Г = мтА -f (1 — m) Td = ЩТА + ^—у^' Tb
T = pt H + (1 — Р) г с = Р*ь + Гд Для точки пересечения этих прямых Kt должно быть
Отсюда можем найти тл, р и r?l:
m = г+~\ • P = Пм ' = Г+Т'гл + гв)
Точка Li является точкой пересечения прямых OKs и AB. Но уравнение прямой OKt есть
г - = Ca + гв)
и чтобы точка этой прямой лежала на прямой AB, необходимо и достаточно, чтобы сумма коэффициентов при гЛ и гв равнялась единице (задача 6):
2Jl д , / + 1 Л, = -J-
Отсюда
так что, действительно, Lt является серединой AB. % 2 СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ И РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Ц
Теперь мы покажем, что от точки Ln можно притти к точке Ln+i. Мы предполагаем, что
ALn = і AB
™ п
так что радиус-вектор точки L11 есть
= <» - *> 'a + rB
Ln «
Уравнение прямой CLn есть
г = *rL„ + (і - „ rc=, +LJJ г д
Для точки пересечения Кп+1 прямых AD и CLn должно быть
л—1,1—о 1 — т q
Отсюда
« — __Я _ ntA + rB
" — ' q ~~ т+и' Гк»+і — І+л Точка Z-„+1 является точкой пересечения прямой OKn+,
' - ^s+, = пЬ +• t^
. с прямой AB, так что должпо быть
~ (л + 1) = 1, А, = 1-±. I -+- a v ' ' ч +
Отсюда
лта + гя
г
^71+1 » + 1
это показывает, что Ln+) делит AB в отношении 1 : л, так что
1
я + 1
ALn+l = AB
Что и требовалось доказать.
Задача 12. Найти соотношение между шестью отрезками AM, MB, BK, КС, CL, LA, которое должно выполняться для того, чтобы три прямые AK, BL, СМ, соединяющие вершины треугольника ABC с противоположными сторонами, пересекались в одной точке P (фиг. 15).
Беря вне плоскости треугольника произвольную точку О, назовем через гі, га, гз радиусы-векторы вершин треугольника' ABC относительно точки О, через R же назовем радиус-вектор точки пересечения P трех прямых: AK, BL. СМ. Разлагая R по трем не компланарным векторам гі, г», 1?, будем иметь
R = O1T1 + 02г2 + Ct2 г3 22
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
При этом, согласно задаче 7
aI + «г + aS = 1
Так как точка К лежит на прямой АР, то для радиуса-вектора Tg этой точки будем, согласно задаче 6, иметь
rK = &R + (1 — к) T1 = (Ao1 + 1 — к) T1 4- Arot2г„ 4- fat8r3
'Гак как точка К лежит в то же время на прямой ВС, то мы должны еще иметь согласно той же задаче
Isal + 1 — А: = 0, Aa8 4- Aaa = 1
При этом оба эти соотношения приводят к одному и тому же результату і 1
ft =
Итак
Гц =
1 — Cti с^+ аа ««г« + Oara
Oh+ Ots
Сравнивая это с формулой (23), заключаем, что
BK _ а, КС — а2
Аналогично получим
CL LA
41
Cta '
AM MB ''
а*
Ctl
Перемножая полученные три равенства, найдем требуемое условие
BK CL AM
или
KC-LA MB ~ 1 BK-CL-AM = КС LA MB
(33)
Это условие является, очевидно, и достаточным условием пересечения прямых AK, BL, СМ, так как если обозначить через P точку пересечения прямых AK и BL, то прямая CP должна, согласно предыдущему, пересечь AB в такой точке M', для которой
AM-MB
КС LA
BK CL
Но если выполняется условие (33), то мы имеем
AM MB
KC-LA BK-CL
и, следовательно, точки M' и M должны совпасть. Задача 13. Доказать компланарность векторов
пс — /)Ь, р а — тс, mb — па І з ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА HA КАКОЕ-ЛИБО НАПРАВЛЕНИЕ
23
Задача 14. Найти центр тяжести системы трех материальных точек Mj (T1)1 Mt (г8), Mt (га), в которых сосредоточены массы mi, ma, ms, зная, что центр тяжести двух масс лежит на линии, соединяющей эти массы, и делит ее в отношении, обратно-пропорциональном массам.
Центр тяжеств точек M1 и M2, который мы обозначим через M' (г'), определяется по формуле (23):
Г = -1-
Тої -J- nib
Поэтому центр тяжести системы трех точек будет
(Оті + тг) T- + /Дата _ тггг + TO1Ta + To9T3
(mi + Toj) H- ms i»i wig -J- ms
(34)
Задача 1&. Пусть А ',її, С' середины сторон Д ABC (фиг. 10), а О — какая-либо точка: доказать равенство
OA' + OB' + ОС' =OA +OB + ОС
Задача 16. Хорды APB и CPD круга с центром О пересекаются в точке P под прямым углом. Доказать равенство:
PA+PB + PC + PD = 2PO
§ Проекция вектора на какое-либо направление. Координаты вектора. Правая я левая системы координат. Аналитическое выражение равенства, сложения н вычитания векторов
1. Выберем какое-нибудь определенное направление, характеризуемое единичным вектором и. Рассмотрим какой-нибудь вектор а (фиг. 16).
Проекцией Ou вектора а на направление а называется дайна отрезка А'її, отсекаемого на какой-нибудь прямой, параллельной и, плоскостями, перпендикулярными кпи проходящими через концы AuB вектора а, взятая со знаком плюс или минус, смотря по тому, имеет ли А'В' то же направление, что п, или как раз противоположное.
