Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
к = axv + +¦ - - - + ^nu (19)
Ь7 *= alz + O2, + ... + Inz
Для доказательства надо применить теорему о проекции геометрической суммы к осям х, у, z. В частности, если
с = а — Ь (20)
то
cr = ах — Ьг. Cv = Ov — by, сг — аг — Ь, (21)
Наконец, умножение на скаляр столь же просто выражается в координатах вектора
ma = т (йті 4- Oyj + aek) = maxі + Itiavj + mark (22)
6. Mk рассматривали прямоугольные проекции а прямоугольные компоненты вектора а.
Но с равным успехом мы могли бы ввести три единичных некомпланарных зектора i, j, к, образующих косоугольную систему координат. Разложим аектор а но этим ортам:
а = ax\ + aj + аг к (23)
тогда мы можем назвать Ox, Ov, аг — косоугольны if и компонентами зектора а. Но в обшем случае косоугольные составляющие не будут определяться формулами (12), так как для определения, например, ах нужно через концы вектора а провести плоскости, параллельные І з ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА HA КАКОЕ-ЛИБО НАПРАВЛЕНИЕ 27
двум другим осям у и г и найти отсекаемый ими на оси х отрезок; последний будет зависеть не только от угла между а и плоскостью yz, но еще и от угла между осью хи плоскостью yz. Отметим, что теорема о проекции геометрической суммы векторов и ее следствие — соотношения (19) справедливы и для общего случая косоугольных координат.
7. Выведенные в этом параграфе формулы и теоремы имеют большие приложения, например, в статике.
Равнодействующая нескольких сил F1, F2, ... , Fn, действующих на материальную точку, выражается геометрической суммой их:
R = F1 + F2 + . .. + Fn
Проекция равнодейвтвующей на какое-либо направление равна сумме проекций на то же направление всех действующих сил:
Ru = Л» + ^au + - - - + Pm
Если проекции силы Fj на оси х, у, z обозначить через Xi, Fj, Zi, то проекции равнодействующей будут
Rx — X1 + - - • -f- Xn, Ry = Y1 + . . . + У», Rz = -Z1+ . . . +Zn
Величина и направление равнодействующей определяются по формулам (13) и (14) (только для прямоугольной системы координат):
R = V Rx1 + Ryi + Rf cos (R, х) = . cos (R, у) = , cos (R, z) = ^
Если точка, находящаяся под действием системы сил, находится в покое, то R = 0, и обратно, если R = 0 и точка в начальный момент покоилась, она и дальше будет находиться в состоянии нокоя.
Векторное равенство R = O равносильно трем алгебраическим:
Rx = X1 + . . . + Xn = О
Rv = Y, + ... + Yn = 0 (24)
R1 = Z, + ... + Zn = О
В задачах статики на равновесие системы сил, пересекающихся в одной точке, не может быть более трех неизвестных, так как условий равновесия, как мы только что видели, три. Эти неизвестные всегда можно определить, спроектировав уравнение R = 0 на оси координат х, у, z, т. е. написав уравнения (24). Но часто удается проектировать уравнение R = 0 на такое направление, чтобы все неизвестные, кроме одной, пропали, тогда сразу получается эта неизвестная.
Примеры на этот параграф мы дадим в конце следующего параграфа. 28
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
§ 4. Преобразование координат. Преобразование составляющих вектора при переходе от одной системы координат к другой
1. Зная компоненты вектора а по осям х, у, г, мы можем вычислить его компонент по любому направлению и. Возьмем для этого проекции на направление и обеих частей равенства (11) предыдущего параграфа и воспользуемся теоремой о проекции геометрической суммы; в результате получим
Iu=aX cos (u» + Oy cos (и, у) + az cos (u, 2) (1)
Таким образом, компонент вектора а по любому направлению может быть выражен через компоненты по осям прямоугольной системы, притом, как видно из формулы (1), линейным образом. Это свойство характерно для векторов E должно было бы быть положено в основу определения вектора, если бы мы исходили из аналитического определения вектора при помощи его координат.
В формуле (1) поставим вместо Oa, ах, Ov, Ot их выражения по формулам (1) E (12) § 3 и сократим на а; обозначая через ф угол между направленнями векторов а и и, найдем
cos<p = cos (a, u) = cos (а, х) cos (u, х) + cos(a,j/).cos(u,j/) +cos(a, s)cos(u,z)
(2)
Получили формулу аналитической геометрии, дающую косинус угла <р между двумя направлениями а и и.
2. Допустим, что мы знаем компоненты вектора в некоторой координатной системе Oxyz (фиг. 20); возьмем другую координатную систему Oxyz, определенную тремя вааимно перпендикулярными ортами i, J, к; компоненты вектора по новым осям будут иметь уже другие значения о«, 0?, а,. Спрашивается, как выражаются новые компоненты вектора а через старые?
Ответ дается формулой (1).
Чтобы упростить писание формул, мы введем таблицу косинусов десяти углов, составленных новыми осями со старыми:
Так, например
aj = cos (ж, х), оц = cos (х, у), P1 = cos (х, у) и т. д. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
29
Эти косинусы представляют координаты новых ортов но старым осям; в самом деле,
Lc = 1 • cos (х, х) — H11 jx = а8, кх = as Iy = I-COS (X, у) = ?i, Jv = За, К = ?8 (4)
іг = 1-cos (г, г) = Yn h = Yai К - у3
Отметим, что между девятью косинусами таблицы (3) существует шесть зависимостей, так что только три косинуса независимы между собой (последнее обстоятельство отвечает тому, что ориентация одного координатного тривдра относительно другого может быть задана тремя параметрами, например тремя углами Эйлера). В самом деле, по формуле (2) можем написать следующие 6 соотношений:
