Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
и если бы хоть одна из разностей т — лг', п — л', р — р' не равнялась нулю, то векторы a, b и с оказались бы компланарными, что противоречит предположению. Поэтому т — т, п = п, р' - р, т. е. разложение (17) единственно.
Разберем несколько примеров на сложение и разложение венторов.
Задача 1. Какому условию должны удовлетворять три вектора а, Ь, с, чтобы яз них можно было образовать треугольник (фиг. 9).
Из чертежа видно, что искомым условием является
а+Ь+е=0
так как тогда и только тогда ломаная линия BCAJB замкнется и овра-зуется треугольнин.
Задача 2. Доказать, что можно построить треугольнин, стороны которого равны и параллельны медианам данного Д ABC (фиг. 10). 14
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
Обозначим середины сторон ВС, CA и AB соответственно через А', В' и С'. Выразим векторы, представляющие медианы треугольника» т. е. AA', BB' и CC', через a, b и с. Найдем, например, AA':
JS' = AB + Ш = с + J- а
ибо
BJ'=-Ї-ДС = f а
Циклической перестановкой (т. е. заменой а на b, b на с и с на а) получаем
SF = a+-Lb, CC= b + i-c
Проверяем условие задачи 1, что из векторов AA', BB', CC' можно составить треугольник; для чего составляем
Al' +TtB' +CC' = с+ i-a + a + j-Ы-Ь +-Ic = f (a + b + с) =0
Условие задачи 1 выполняется; следовательно, из AA', BB" и CC' действительно можно составить треугольник.
Прежде чем переходить к дальнейшим примерам, мы введем неснолько необходимых нам понятий.
Положение какой-нибудь точки пространства P может быть определено вектором OP, начальной точкой которого служит некоторая определенным образом выбранная точка О, а концом — точка Р; вектор OP мы будем называть радиусом-вектором точки P относительно точки О и будем обозначать обычно буквой г. Про точку P, заданную радиусом-вектором г, мы будем говорить, для сокращения речи, что дана точка P (г).
Задача 3. Найти радиус-вектор г середины С отрезка AB, зная точки А (гг) и В (гг). Вычисляем
г = OC = OA+ АС=~ОА+ \-AB ^=OA +^{ОВ —Ш) =
= T1 + -А- (гг - г,) = і (F1 + г2) (18)
Задача 4. Доказать, что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то четырехугольник есть параллелограмм.
В самом деле, если радиусы-векторы четырех последовательных вершин четырехугольника ABCD суть гг, гг, г3, г„ то середина диагонали AC будет иметь радиус-вектор
"'-тС»+*)
а середина диагонали BD будет иметь радиус-вектор
^ - ± (г, + г4) % 2
СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ И РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Ц
Но так как диагонали делят друг друга пополам, то эти точки совпадают; откуда
J (? + га) = -і- (г8 + rj
или
г, — T1 = г, — г4
т. е. вектор AB = г2 — T1 равен и параллелен вектору DC = rs — г4, а следовательно ABCD есть параллелограмм.
Задача 6. Выяснить геометрическое значение уравнения
г = а + яЬ (19) * дЬ
где а и Ъ — заданные векторы, п — переменный параметр, г — переменный вектор.
Найдем геометрическое место конца P радиуса-вектора г (фиг. 11); если конец радиуса-вектора а есть точка А, то Фиг
AP = г — а — пЪ
будет коллинеарен с Ь, следовательно, AP параллелен Ь; поэтому искомое геометрическое место есть прямая, проходящая через точку А и параллельная Ь. Уравнение (19) есть векторное уравнение этой прямой.
Зада чо ?. Показать, что необходимое н достаточное условие того, чтобы три точки А (а), В (Ъ) и P (г), где
г = ma + пЬ (20)
лежали на одной прямой, состоит в той-, чтобы
Фиг. 12 т + п = і (21)
Исключение представляет случай коллинеарности векторов а и Ь, когда при всяких тип точки А, В и P лежат на одной прямой.
В самом деле, пусть точки А, В и P лежат на одной прямой (фиг. 12), тогда векторы AP = г — а и AB= Ь — а коллинеарны, следовательно,
г - а = п (Ъ - а) (22)
Отсюда
г = а 4- п (Ь — а) = (1 — п) а 4- пЪ
так что в силу единственности разложения вектора г по векторам а и Ь (в случае их неколлинеарности) мы должны иметь
m = 1 — п, т+« = 1
Обратно, пусть т ¦+- п = 1, тогда
г — а = та 4- «Ь — а = та + пЪ — (т 4 «) а = п (Ъ — а) 16 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Гл. I
Следовательно, AP= г — а коллинеарен с AB = b — а, т. е. AB и AP параллельны, а так как эти векторы отложены от одной точки А, то А, В и P лежат на одной прямой.
Таким образом уравнение (20) при условии (21) можно рассматривать, как векторное уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А (а) и В (Ь). Полезно выяснить значение коэффициентов т в п. Из формулы (22) видно, что п равно отношению длин AP я AB, взятому •со знаком плюс, если точки BnP лежат но одну сторону точки А, и со знаком минус, если эти точки лежат но разные стороны А. Точно так же т равно отношению длин BP a BAi взятому с надлежащим знаком. Как простое приложение этого замечания, найдем радиус-вектор точки Р, делящей AB в заданном отношении х: у. По условию
AP X РВ~ у
Отсюда
AP AP _ X
AB = AP+ PB ~ X+у = П
Следовательно
Задача 7, Показать, что необходимое и достаточное условие того, чтобы четыре точки А (а), В (b), С (с) a P (г), где
г = ma -f- nb + ре (24)
лежала в одной плоскости, состоит в том, чтобы
