Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 4.23. Проверка согласованности, предназначенная для выявления нетранзитиівности, требующей дальнейшего ис-
Ло/перея А
следования
192
в процессе исследования помог самому себе «прочистить мозги». Ясно, что для функций полезности, порождающих сложную структуру предпочтений, и необходимость !в содержательных проверках согласованности больше, и условия проведения таких проверок благоприятнее. Как уже упоминалось, если проверка выявляет противоречия в предпочтениях, указанных лицом, принимающим решение, раньше, то нужно привлечь его внимание к этим противоречиям и для получения согласованных предпочтений повторить часть процедуры построения функции полезности. Как только получена функция полезности, которая, по мнению лица,, принимающего решение, и аналитика, правильно отражает истинные предпочтения данного лица, можно продолжить анализ дальше.
4.9.6. Использование функции полезности. В этом пункте мы разберем два практических положения, которые оказываются полезными при проведении анализа чувствительности. Они связаны с проверками согласованности и всей процедурой построения функций полезности, так как показывают, как нам следует уточнить оценки.
Упрощение расчетов ожидаемой полезности. Часто приходится иметь дело с функцией полезности, имеющей экспоненциальные члены. Простым примером является функция полезности, отражающая постоянную несклонность 1K риску и имеющая вид
и(х)= —е"сж, (4.37)
где с — положительная постоянная. Другим очень важным примером служит функция полезности, отражающая убывающую несклонность к риску,
и (х) = —е~ах—Ь е~сж, (4.38)
где ау Ъ и с — положительные постоянные. Для случая, когда функции полезности имеют такую структуру, а возможные исходы описываются плотностью распределения ,вероятности, существует простой способ вычисления ожидаемой полезности.
Экспоненциальное преобразование T^(s) для плотности распределения f(x)
+«
7*(s)-?[e-**]= je-s*/(jt)d*, (4.39)
— 00
где J для дискретных распределений означает суммирование (при этом f(x)—значения вероятностей), было рассчитано для большинства распространенных вероятностных распределений. Не претендующий на полноту перечень результатов приведен в табл. 4.6. Если функция полезности имеет вид (4.37), а действие приводит к случайному исходу л;, описываемому плотностью распределения /, то ожидаемую полезность этого действия можно легко вычислить, если [см. (4.39)] заметить, что
E[и(х)] = j и{х)f (х)dx= j —е-«/(*)dx=—Tx(с). (4.40);
—оо —оо
7—67
193
Таблица 4.6. Экспоненциальные преобразования некоторых распространенных вероятностных распределений
Вероятностное распределение
/(*)
Tx(s)==E[e-*x]
Бета
Биномиальное Коши
Показательное Гамма
Геометрическое Нормальное
Пуассона Равномерное
Т(а+Ь) м
г(«)Г(*Г (1 х) '
0*?х<1; а>0, Ь>0 п\
х\ (л—je)! р К Р) 9 д: = 0,1,..., п; 0<р<1
J__а
я а* + (х — Ь)* 9 — оо<х<оо; а>0
Хе~К jc^O; Я>0
(Ajc)1-^-^, 0;
, \1 (s)n(a)(a+\)...(a+n)
Г (г)
А>0, г>0 P(I-P)—Ч 2,
0<р<1 J_ — [(*-7]2/2а2]
--є ,
—оо<Хоо; а>0 Xх е-1
Xl
1
6-а
* = 0, 1,...; A>0
! л!(а+6)(а+6+1)...(а+6+л)
(ре-*+1— р)п
е—bs—Ajs|
X + s
(r+"s)
ре"5 l-(l-p) e-s
e— sT+s* а8/2 X (e-s_l)
e_sa_e-sb s (6 — a)
Когда функция полезности имеет вид (4.38), ожидаемую полезность можно рассчитать «с помощью выражения
Е[и(х)]= §(—e-ax—be-cx)f(x)dx=—Tx{a)—bTx{c). (4.41)
Аналогично для плотности распределения f(x) определено преобразование Меллина Mx(s)
MxI(S)=E[X*]= §x*f(x)dx. (4.42)
— OO
Это преобразование также затабулировано для большинства распространенных вероятностных распределений и может быть ис-
194
пользовано при расчетах ожидаемой полезности, когда функция полезности содержит степени X.
Параметрический анализ. Опытный аналитик обычно проводит анализ чувствительности. Для задач принятия решений он заключается в определении чувствительности лучшего решения к параметрам функции полезности. Предположим, что на основании ответов, полученных от лица, принимающего решение, мы установили, что его предпочтения могут быть описаны функцией полезности
и(х) = \—е~сх. (4.43)
Предположим, однако, что он испытывал затруднения при определении детерминированных эквивалентов лотерей, и поэтому мь$ не очень уверены в правильности значений параметра с. Указанные им детерминированные эквиваленты для разных лотерей приводят к совсем разным значениям с, например в интервале от 1/3 до 1. Ясно, что в таком случае целесообразно провести анализ чувствительности. Во-первых, мы можем оценить ожидаемую полезность каждого действия в виде функции параметра с. Если имеется всего три действия, то можно нарисовать графики таких функций, как это сделано на рис. 4.24. На основе такой информа-
Рис. 4.:24. Параметрический анализ при использовании и(х) =—е~сх
O9Z Ofi 0,8
д
Альтерната^ T Альтернатива Z
Аль/лернатиЯа 3
ции альтернативу 3 можно сразу исключить из дальнейшего рассмотрения, так как она доминируется обеими альтернативами 1 и 2. Если с<0,8, то лучшей является альтернатива 2; в противном случае следует выбрать альтернативу 1. Теперь для выбора решения нам не обязательно устанавливать точное значение с. Нужно только выяснить, больше ли с, чем 0,8, или же меньше-А эта задача проще, чем первоначальная.
