Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Подведем итог проведенному обсуждению. В некоторых случаях исходы, естественно, могут быть описаны одномерным критерием, но строить функцию полезности прямо для этого критерия может, оказаться затруднительным. Вместо этого мы могли бы внешне усложнить анализ, введя ряд дополнительных критериев» для которых, однако, предпочтения оцениваются более просто.
205
4.12. УСЛОВНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ПОЛЕЗНОСТИ
В этом параграфе показывается применимость теории одно-.мерной полезности к многокритериальным задачам и, по существу, делается переход к последующим главам.
4.12.1. Предпочтения, зависящие от состояния. Как и раньше, предположим, что выбор лицом, принимающим решение, действия и определяет вероятностное распределение неопределенного выигрыша х. Но теперь будем считать, что, рассматривая простые лотереи с различными выигрышами X9 принимающий решение интересуется, в каком из состояний Wi9 Wj9 ...9 wr будет находиться «окружающая среда». Рассмотрим простой пример, в котором х представляет денежные средства лица, принимающего решение, при выходе на пенсию через 20 лет от настоящего момента. Его детерминированный эквивалент для лотереи 50—50 с выигрышами х\ и Х2 может зависеть от состояния здоровья его самого л его жены. Он может, разумеется, ответить на вопрос, мысленно учтя возможные состояния здоровья и их вероятности. Однако, вместо того, чтобы давать ответ на вопрос в безусловном виде, ему может оказаться удобнее обдумать вопрос условно для каждого состояния, а затем скомбинировать эти условные оценки для получения безусловной оценки.
Для простоты допустим, что выбор действия а изменяет вероятностное распределение X9 но не w. Положим
Будем, однако, считать, что функция полезности и лица, принимающего решение, зависит и от х и от w. Оно хочет выбрать действие а, чтобы обеспечить
где оператор взятия математического ожидания Еа зависит от а, так как вероятностное распределение х (но не w) зависит от а. Как лицо, принимающее решение, -может систематизировать процесс построения функции м(-, •) двух переменных? Это спорный вопрос. Мы хотим показать целесообразность применения теории одномерной полезности для решения этой задачи.
Рассмотрим нашу задачу при помощи дерева решений, изображенного на рис. 4.27. Ход 1 делает принимающий решение, выби-
R(W = Wj)=Pj для /=1,...,г.
; (4.53)
max Еаи (х, w).
oqA
(4.54)
Ход7 Дейстбие
206
рая действие а из Л. Ход 2 делает случай, выбирая х в соответствии с распределением, зависящим от a. Ha третьем ходе случай выбирает Wi с вероятностью (г=1, г) независимо от выборов на первых двух ходах. Исход, к которому приводит путь (а9 X9 Wi)9
ИМееТ ПОЛеЗНОСТЬ U (X9 Wi).
Мы определяем безусловную полезность X как
г
й(х) = S и(х9 w,i)pi. (4.55)
1=1
Для принятия решения на первом ходу нужно знать лишь одномерную безусловную функцию полезности й('). Хорошо, если принимающий решение может построить сразу й. Однако он может предпочесть найти и косвенным путем, через совокупность условных оценок.
4.12.2. Условные оценки. Допустим, что интересующая нас область значений X попадает в интервал*) от х° до х*. Предположим, что лицо, принимающее решение, знает, что должно реализоваться Wi9 и безразлично к выбору между получением X наверняка и участием в лотерее, дающей х* с вероятностью щ(х) и х° с вероятностью 1—лі(х). Схематически это можно изобразить следующим образом:
я. (X) *
/
X — / при данном W1. (4.56)
\ о X-Tt1 (X) X
Другими словами, Яг(в) — это условная функция полезности лица, принимающего решение, для значений х при заданном состоянии Wi9 нормализованная ограничениями Jt1(A;0) =0 :и тц(х*) = 1. Ясно, что лі — одномерная функция полезности.
По крайней мере в принципе мы можем ввести двумерную функцию полезности и(% •) (учитывающую одновременное изменение значений двух критериев), и она должна быть такой, чтобы для любых і существовали постоянные си Ьг>0 такие, чтобы
и(х9 Wi)=Ci + biTti(x) для всех лги 1=1, г. (4.57)
Таким образом, для построения и(% •) недостаточно построить V функций условной полезности яі(»)> •••> л;г(*)- Мы должны также как-то подобрать шкалирующие постоянные а, Ьг, с2, Ь2, сг, Ьг. Это — наша очередная задача.
Из (4.55) и (4.57) мы видим, что
и(х) = J) [C1 + bi я, (X)]Pi = Jc1 pt + ? ьг я, (х)Pi. (4.58) i=i 1=1 I=I
*) Это допущение сделано для удобства и легко может быть ослаблено.
207
Но для принятия решения нам нет необходимости знать величину постоянного члена в правой части (4.58) и, следовательно, нам не нужно определять постоянные Ci. Это очень большое облегчение, так как иначе нам пришлось бы задавать вопросы типа: «Предположим, что Вы находитесь в положении (х, Wi); сколько, единиц критерия X Вы (бы уступили, чтобы .изменить Wi на wfi>- К счастью, мы можем избежать таких вопросов.
4.12.3. Условные детерминированные эквиваленты. Для произвольного действия а представим получаемый выигрыш при помощи неопределенной переменной &а\ Детерминированный эквивалент для х^ при заданном состоянии Wu обозначаемый через Ма\ определяется из соотношения
