Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(р) /0 — т) хо + 2т*о = (1 + т)хо / выигрыш \ проигрыш U-P)^(I-т) X0
Таким образом, это инвестирование приводит к выигрышу x0zm, где
~ __ f 1 +im с вероятностью р9 т [ 1—т с вероятностью 1—р.
АЛЛ. Инвестирование, независимое от финансового положения.
Теперь мы рассмотрим четыре специальных класса функций полезности, для которых оптимальный план инвестиций не зависит от первоначального финансового положения Хо. Для пояснения целесообразности выделения таких классов разберем два примера.
Пример 4.16. Пусть и(х)~х9 т. е. и(х) стратегически эквивалентна линейной функции полезности. Принимающий решение, выбирая /а, стремится максимизировать свою ожидаемую полезность. В этом случае
max Eu(x0za ) = max E (X0Z00) == x0max E (za ),
cc cc cc
так что оптимальное инвестирование не зависит от суммы Xq, которую нужно вложить. Для дальнейшего заметим, что при и(х)~х будем иметь
/ ч и" (*) Л
хг(х)=—X—— = 0 для всех X.
и' (X)
Пример 4.17. Предположим, что и(х)~хх~с при 0=т^с<1. Тогда ожидаемая полезность оптимального инвестирования равна
max Eu(xQza ) =max E(x0za)1-C=x0l-C max E(zl~c a)9
ос a
170
так что вновь оптимальное инвестирование не зависит от вкладываемой суммы Xq. В этом случае
Отметим, что, когда с<0, в силу неотрицательности х функция г(х) отрицательна, так что и соответствует склонности к риску. При с>0 и свидетельствует о несклонности к риску.
Исходя из этих примеров, докажем теперь следующую теорему и следствие из нее.
Теорема 4.19. Если для любого класса инвестиций оптимальный план инвестиций не зависит от суммы, которую нужно вложить, и если функция полезности, отражающая несклонность к риску, «хорошо устроена», то хг(х) — константа *>.
Доказательство. Предположим, что р — фиксированное число, причем 1/2<р<1. Рассмотрим описанный ранее класс инвестиций, где
2 = fl+wc вероятностью р, ш [ 1—m с вероятностью 1—р
и 0 . Тогда
Eu(X0Zm) =pu[x0(l +m)] + (\—р)и[х0(1—т)].
Для того чтобы найти максимальную долю т, выделяемую для инвестирования (предполагая, что эта точка максимума является внутренней), продифференцируем последнюю функцию по т и приравняем полученную производную нулю. Тогда получим
ри'[х0(1+т)]=|(1—р)и'[х0(\—т)] для всех х0.
Теперь заметим, что в силу предпосылки теоремы величина т, удовлетворяющая последнему равенству, одна и та же для всех х0. Полагая K=(I—р)1р, х=х0(\—т) и X= (l + m)/(I—т), получаем
*> Под «хорошо устроенной» мы понимаем дважды дифференцируемую функцию и, для которой существует предел
Кх и" (Kx) = хи"{х) и' (X X) и' (х)
или
Ххг(Хх) =хг(х) для всех X.
Hm
U'(X)
171
Далее, используя существование предела \imxr(x) при х-+0, мы должны доказать, что хг(х) является константой. Предположим, наоборот, что ххг(х\)фх2г(х2). Тогда
Переходя к пределу при п-+оо (с учетом того, что к>1)у получаем противоречие (с фактом существования предела функции хг(х) при х-+0).
Если оптимальное значение т не является внутренней точкой, то т = 0 или m=l. Но оба эти случая могут быть исключены: т = 0 в связи с тем, что и становится в малом подобной линейной функции и Е(2т)>1, и случай т=1, так как в силу несклонности к риску существует такое значение хо, которое предпочтительнее рискованного предприятия, в котором -имеется р шансов за получение исхода лг0, 1—р шансов за получение 0 (здесь можно, например, положить р равным примерно 0,51). Этим завершается доказательство.
Следствие. Следующие утверждения эквивалентны:
(і) хг(х) —константа;
(и) и(х) ~logx, или х1~с при 0=т*=с<1, или —x-^-v при с>1, или и(х) ~х.
(iii) Оптимальный план инвестиций не зависит от финансово-го положения.
Примеры 4.16 и 4.17 (а также аналогичные примеры для u~logx и и~—лг^-1), с>1) показывают, что (іі)-^(ііі) и (іі)-^(і). Приведенная выше теорема утверждает, что (ііі)-^(і). Остается доказать, что (і)-^(іі).
Доказательство. Из
xr(x)=—x — [log и' (х)] = с dx
имеем
— log а' (X)=—-dx S 1 ' X
или
log и' (х) = —с log X + const при с ф 0,
~logx~c при СфО.
Отсюда следует, что и'(х)~х~с при сфО. Легко показать, что при с = 0 u'(x)~k, где k>0. Таким образом,
X при c = 0t
xl~c при с<1, СфО,
и(х)
(4.26) logX при C=I
Это завершает доказательство следствия.
172
Определение. Выражение
, ч и" (х)
называется пропорциональной локальной несклонностью к риску в точке х.
Для пояснения введенного понятия рассмотрим следующие две альтернативы:
1. Детерминированная альтернатива — оказаться в финансовом положении *(1—я*х,т) наверняка.
2. Альтернатива, связанная с риском — оказаться с равными вероятностями в финансовых положениях x(l+m) или x(l—<т)«
Если принимающему решение безразлично, какую из этих альтернатив выбрать, выражение я*х,т может рассматриваться как пропорциональная надбавка за риск. Далее, используя (4.18) и вводя надбавку за риск в виде Jt==#jt*A,m, получаем
,. xsllm 1 U"(x) 1 , ч
hm —=----— = — rix)
xm^o х*т* 2 и'(X) 2 w
или
\[mJSuL = ±Xr(x) *-о т2 2 w
и, таким образом, мы приходим к выражению, названному нами пропорциональной локальной несклонностью к риску хг(х).
