Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
162
избавляет нас от этого затруднения и делает понятие убывающей несклонности к риску операциональным.
Теорема 4.13. Функция несклонности к риску г для функции полезности и является убывающей тогда и только тогда, когда надбавка за риск п(х, х) — убывающая функция от х для всех х.
Доказательство. Теорема 4.12 устанавливает, что если Гі(х)>г2(х)у то zii{x, х)>л2(х, х) для любого х. Применяя этот результат для щ(х) = и(х) и u2(x)z==u(x+k) при положительном и отрицательном k, легко доказать соответственно части «тогда» и «только тогда» этого утверждения.
Как мы скоро убедимся, многие традиционные «кандидаты» в функции полезности, такие, как экспоненциальная и квадратичная функции полезности, не подходят для лица, обладающего убывающей несклонностью к риску. Таким образом, такая характеристика, как убывающая несклонность к риску, сильно огра* ничивает возможное очертание (т. е. функциональный вид) функ* ции полезности. Если мы знаем, что функция полезности должна отражать уменьшение несклонности к риску, то это ограничение-существенно упрощает построение функции полезности. Приведем несколько примеров.
Пример 4.10. Рассмотрим экспоненциальную функцию полез* ности и(х) ==— е~сж, с>0. В примере 4.2 мы показали, а потом и доказали, что надбавка за риск тс {х, х) к любой лотерее х не зависит от х, когда и(х) =—е~сж. Таким образом, хотя эта функция полезности влечет за собой несклонность к риску, ясно, что из нее не вытекает убывающая несклонность к нему, так как л(х, х) постоянна, а не убывает, для любой х.
Следующая теорема, приводимая без доказательства, характеризует такое поведение в более общем случае.
Теорема 4.14. Несклонность к риску г постоянна тогда и только тогда, когда п(х, х) — функция, не зависящая от х для всех х.
Определение. Принимающий решение постоянно не склонен к риску, если г — положительная константа, безразличен к риску, если г — нуль, и постоянно склонен к риску, если г — отрицательная константа.
Теорема 4.15 указывает сильные ограничения, которые налагав ются на вид функции полезности этими условиями. Теорема 4.15.
и(х) ~— е-сх?==$г(х)==с>0 (постоянная несклонность к риску);
(4.20);
и(х) ~x$=s=$r(x)=0 (безразличие к риску); (4.21)
и(х)~е"сх<f**4г(х) = с<0 (постоянная склонность к риску).
(4.22)
6* 163
Доказательство. Если и(х)~— е-0*, то согласно (4.13) г(х)=с. Теперь, если г(х)=с>0, то из (4.14) имеем
?[log«'(*)] = -c
Интегрируя обе части этого равенства и используя операцию возведения числа е в степень, получаем
где d — постоянная интегрирования. Интегрируя еще раз, приходим к равенству
где h — другая постоянная интегрирования. Отсюда ясно видно, что и(х)~—є*"0*. Доказательства остальных утверждений теоремы аналогичны.,
Этот результат говорит, например, о том, что если индивидуум постоянно склонен к риску, то его функция полезности обязана иметь вид (4.20). Зная об этом, нам нужно лишь определить значение параметра с для того, чтобы полностью построить его функцию полезности. Это легко может быть сделано путем определения детерминированного эквивалента для какой-нибудь одной лотереи. Однако искушенный аналитик непременно постарается провести проверку состоятельности своих построений, так что процедура окажется не такой простой, какой она представляется. Задача построения функций полезности рассматривается в § 4.9.
Поскольку мы заинтересованы в отыскании семейства функций полезности, отражающих убывающую несклонность к риску, рассмотрим следующий пример.
Пример 4.11. Рассмотрим квадратичную функцию полезности
и(х)=а+Ьх—сх2, (4.23);
где 6>0, с>0 и X меньше, чем Ь/2с, так как функция полезности за этой точкой убывает. Дифференцируя, получаем и'(х) = = Ь—2сх и и"(х)~—2с, поэтому функция несклонности к риску
rW=_iflW =_2?_в (4.24)
V ' и' (X) Ь-2сх У 1
Поскольку г>0, то ясно, что и отражает несклонность к риску. Но г возрастает с ростом х, поэтому и не может характеризовать убывающую несклонность. Таким образом, мы видим, что, если Необходимо отразить убывающую несклонность к риску, квадратичная функция оказывается неприемлемой.
Тем не менее, несмотря на эти свойства, связанные с отношением к риску, квадратичная функция полезности часто используется в литературе, поскольку ожидаемая полезность лотереи, приводящей к неопределенному выигрышу Xy зависит только от ма-
164
тематического ожидания х и дисперсии а2 случайной величины Xy т. е.
E[u(x)]=E[a+bx—cx2] =a+bx—c(<j2+x2) = и(х)—со2.
Как указывалось в § 4.1, мы, вообще говоря, не считаем разумным основывать свои решения только лишь на среднем значении и дисперсии возможных исходов. Этот пример подводит нас к следующему определению.
Определение. Принимающий решение обладает возрастающей несклонностью к риску, если: 1) он не склонен к риску и 2) надбавка за риск ji(X9 х) для него увеличивается по мере роста х для любой отдельной лотереи X.
Теорема 4.16 связывает такое поведение с функцией несклонности к риску.
Теорема 4.16. Функция несклонности к риску г является возрастающей тогда и только тогда, когда ті(х, х) возрастает по х для любой лотереи х.
