Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ае
' + Ьсё~
ае
Предел функции г(х) при х-*-—оо равен а. При больших положительных значениях X9 как мы знаем, е~ах мало по сравнению с е~сх9 так что
ЬсеГ
= с.
beer**
Предел функции г(х) при х-+- + оо равен с.
График г(х) при а= 1,0, с=0,25 для двух значений Ь представлен на рис. 4.13. Общую форму каждой кривой можно описать следующим образом. Функция несклонности к риску г(х) при u(x)=ui(х)\+Ъи2(х) убывает по х и всегда находится между г\(х)=а и г2(х)=с. Весовой коэффициент Ъ определяет скорость, с которой г(х) приближается к нижней асимптоте с. Чем больше
167
Ь, тем быстрее с ростом X кривая приближается к с. Заметим, что г(х) при 6 = 1 больше, чем г(х) при &=4, для всех значений х. Из теоремы 4.12 нам известно, что надбавка за риск к любой лотерее X при и(х) =—е"ах—bie~°x будет больше, чем при и(х) — =—е~ах—b2ercx9 в том и только в том случае, если Ь2>Ьі.
Рис. 4ЛЗ. Функция несклонности к риску г (х) для функции ъ полезности и(х) =—е~ах— —Ъ е-0»25*
Представляется полезным привести еще один пример функции полезности, отражающей убывающую несклонность к риску.
Пример 4Л4. Какова несклонность к риску при и(х) =—е~аж+] +Ьх9 где а и Ъ положительны? Если мы примем щ(х) =—е~ах и U2(X)=X9 то Г\(х)=а и г2(х)=09 так что согласно теореме 4.17 несклонность к риску должна убывать.
Чтобы доказать это непосредственно, находим и'(х)=ае-ах+Ь,
и"(х)-
2р—ах
и получаем
г (х) = а2 е-^Да e-fl* + Ь).
Опыт предыдущего примера подсказывает, что г(х) примерно равна а для больших отрицательных значений X9 убывает до а2/(а+Ь) при JC=O и асимптотически приближается к нулю при возрастании х.
Поскольку функции полезности, отражающие убывающую несклонность к риску, играют особо важную роль, мы перечисляем наиболее простые из них в табл. 4.5. Этот перечень, разумеется, не является исчерпывающим.
4.6.1. Убывающая склонность к риску *>. По-видимому, сейчас уже очевидно, что мы можем по виду функции полезности выделить убывающую, постоянную и возрастающую склонность к риску. Постоянную склонность к риску мы уже обсуждали. Чтобы прояснить смысл возникающих здесь ситуаций, рассмотрим первое из перечисленных понятий.
Определение. У индивидуума наблюдается убывающая склонность к риску, если: 1) он склонен к риску и 2) надбавка за риск п(х, х) к любой лотерее X для него возрастает при увеличении опорной величины х. Напомним, что п(х9 х) при склонности к риску всегда отрицательна.
*> Этот пункт включен для полноты изложения и для справок. Его можно пропустить без ущерба для связности изложения.
168
Таблица 4.5. Некоторые простые функции полезности, отражающие убывающую несклонность к риску
и{х) Ограничения г{х) Убывающая несклонность к риску
log (*+!>) — 1 х + Ь x^z—b
(х+Ь)- 0<с<1 с—1 * + & x^z—b
(*+*)-* OO с+1 х + Ь b
x+c\og(x+b) OO с (х + Ь) (х + с + Ь) x>—b
а, Ь,с>0 аге-ю + ЬсЬе-** при всех X
_е-ах + bX а, Ь>0 а? е-™ ае-ю + Ь при всех X
Теорема 4.18 указывает удобный метод исследования функций полезности при убывающей склонности к риску.
Теорема 4.18. Функция полезности и соответствует убывающей склонности к риску тогда и только тогда, когда отвечающая ей функция несклонности к риску г — отрицательная и возрастающая.
Доказательство мы опускаем, так как оно аналогично доказательствам, приводимым ранее. Проиллюстрируем этот результат простым примером.
Пример 4.15. Рассмотрим функцию полезности и(х)=х2. Поскольку и'(х)=2х й и"(#)=2, то связанная с ней функция несклонности к риску г(х)=—1/х. Поскольку г(х) при положительных X — отрицательная и возрастающая функция, и(х) отражает убывающую склонность к риску в области положительных х. Ожидаемая полезность лотереи <1, 3> равна 5, поэтому детерминированный эквивалент <1, 3> равен 2,24. Соответствующая надбавка за риск равна —0,24. Подобным же образом получается, что надбавки за риск к <2, 4> и <3, 5> равны соответственно —0,17 и —0,12. Как и следовало ожидать, они возрастают.
4.7. ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ НЕСКЛОННОСТЬ К РИСКУ
В этом параграфе изучается другое понятие, касающееся отношения к риску, — пропорциональная несклонность к риску. Подобно тому, как мы делали раньше, идеи будут вводиться в контексте предпочтений для денежных выигрышей. Однако теория оказывается приложимой и в других областях.
169
Предположим, что у вкладчика имеется сумма X09 которую он может вложить в один из множества планов инвестиций {/а}. Если он выбирает инвестирование /а , то его итоговое денежное положение (суммарный выигрыш) будет X0Z00, где za — неотрицательная случайная переменная. Допустим, что вкладчиком построена функция полезности и, определенная для его финансовых положений, а не величины денежных прибылей, и, следовательно, 0 будет означать «разорение», а не сохранение прежнего положения. Естественно, он будет выбирать инвестирование 1а так, чтобы максимизировать E[U(X0Sfx)]. Везде в этом параграфе мы предполагаем, что предпочтения возрастают по мере роста суммарного денежного выигрыша.
Рассмотрим, например, класс инвестиций, в котором вкладчик выбирает долю своих активов, которую он может удвоить или потерять, причем вероятность выигрыша равна р, а проигрыша 1—р. Исходы его инвестирования можно изобразить следующим образом:
