Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство, подобное предыдущим, опускается.
Вспомним, что согласно (4.24), г(х) для квадратичной функции полезности возрастает по х. Поэтому такая функция свидетельствует о возрастающей несклонности к риску.
Подобное отношение к риску приводит, например, к тому, что индивидуум, становясь богаче, согласился бы платить все большие страховые суммы для того, чтобы избежать участия в неблагоприятных лотереях. Поэтому мы не можем ожидать, что большинство лиц, принимающих решения, согласятся с таким поведением. Однако, если такое отношение к риску имело бы место, то оно могло бы быть использовано для упрощения построения функции полезности. Наконец, мы подходим к функции полезности, отражающей убывающую несклонность к риску.
Пример 4.12. Рассмотрим логарифмическую функцию полезности и(х) =log(*+6), обсуждавшуюся в примере 4.3. Дифференцируя, находим и'(х) = 1/(х+Ь) и и"(х)=—1/(х+Ь)29 так что
и'(х) х + Ь
Понятно, что г(х) положительна и убывает по х для всех х>—&. Следовательно, в этой области значений х функция полезности и(х) отражает убывающую несклонность к риску.
Теперь отвлечемся и посмотрим, к чему мы пришли. Мы рассмотрели возрастающую, постоянную и убывающую несклонность к риску. Интуитивные соображения и опыт подсказывают нам, что случай возрастающей несклонности к риску мало интересен, и мы по существу обсуждали основные положения, относящиеся к случаю постоянной несклонности к риску. Однако нам нужно подробнее рассмотреть и случай убывающей к нему несклонности. Так, представляется целесообразным выбрать несколько простых, но довольно разнообразных семейств функций полезности. Тогда, если индивидуум проявляет убывающую не-
165
склонность к риску, то мы можем взять конкретное семейство функций полезности и направить свои усилия на подбор отдельного его представителя, подходящего к рассматриваемой ситуации. Следующий полезный результат позволяет нам построить такой класс функций полезности.
Теорема 4.17. Функция полезности, являющаяся взвешенной суммой двух или более функций полезности, которые на интервале [х°, X*] отражают убывающую или постоянную несклонность к риску, также характеризуется убывающей или постоянной несклонностью к риску на х*\ и, за исключением подынтервалов, на которых суммируемые с весами функции полезности отражают одинаковую и постоянную несклонность к риску, она характеризуется убывающей несклонностью к риску.
Доказательство. Пусть и=щ+ки2, k^O. Тогда -
и" _ u\ + ku2_ и[ ku2
г1 +
и U1 + ku2 U1 -f- ku2 U1 + ku2
Дифференцируя, получаем
г, а и1 r> j r^ (»I+ku2) «I - «I («I + Ц) Ц ґ t
и[ + ku2 1 ( и[ -j- ku2)2 u[ + ku2 2
( u[ + ku2) ku2 — ku2 ( U1 -f- AWg) r[ + ku2 T2
—\~ T2 '-' — ¦ '"
( u[ + ku2)2 u[ +
Г! [k ( 1? «I — U1 U2)] +r2[k( U1 U2 — U2 U1)] =
( u[ + ku2f
u[ r[ + ku2 r2 k (rt — r2)2 u[ U2
u[ + ku2 ( u[ + ku2f
Так как и'і>0, и'гХ), Л^ГО и г'г^О, то мы видим, что «г'<0. Поэтому для случая м=Мі+?м2 утверждено верно. Общий случай M=Sj581^Mi, с*>0, исследуется аналогично — путем последовательного применения приведенного доказательства.
Пример 4.13. Какова будет несклонность к риску при и(х) = = —е~ах—йе~сж, где a, b и с — положительные константы? Если определить Mi(X)=— е~аж и M*)=—е_сж> то и(х) = ui(x) +Ьи2(х). К тому же мы знаем, что м(лг) (см. теорему 4.17) должна характеризоваться постоянной несклонностью к риску при а=с и убывающей несклонностью к нему при афс. В этом можно убедиться и непосредственно. Предположим, что а=с; тогда и(х)=—е~аж—* —Ьегах=—(l+b)e~ax, и при этой функции, как мы уже знаем, несклонность к риску постоянна. Если афс, и'(х) =ае~ах+\Ьсе-сх и и"(х) =—а2е-ах—Ьс2егсх, так что
ф)=^+^", (4.25)
166
и производная этой функции отрицательна. Следовательно, и(х) действительно характеризует убывающую несклонность к риску.
Функция полезности из предыдущего примера часто применяется при практическом описании предпочтений. Рассмотрим ее более подробно, чтобы лучше понять «физический смысл» убывающей несклонности к риску. Чтобы «прочувствовать» степень неприятия риска, т. е. поведение г(х) в (4.25) как функции от X9 нужно вначале изучить поведение е-аж и е~с*. Без потери общности предположим, что а>с. Обе функции изображены на рис. 4.12 при а=\ и ?: = 0,25. Обе принимают очень большие значения для больших отрицательных х и асимптотически приближаются к нулю при возрастании х. Их отношение е~аж/е~сж=е~(а~с)ж представить несколько сложнее. Оно тоже изображено на рис. 4.12 и имеет такую ^9^mff^ же форму, как и обе исход- ' * ные функции. Таким образом, е~сх очень мало по сравнению с е~ах для очень больших по абсолютной величине отрицательных значений
Рис. 4.L2. Экспоненциальные компоненты функции полезности и(х) =—е~ах—b е_сх
X9 при х=0 они оказываются равными, и е~ах очень мало по сравнению с е~сж для больших положительных значений х.
После этого отступления более детально рассмотрим несклонность к риску при и(х) =—е~ах—Ье~сх9 а>с. Согласно (4.25) г(0) = (а2+Ьс2)/(а+Ьс)9 и эта величина меньше а, но больше с. Для больших отрицательных значений х9 поскольку е~°х мало по сравнению с е~ах, получаем
