Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Все важные результаты § 4.6 аналогичны при убывающих функциях полезности. Примером является следующая теорема.
Теорема 4.29. Функция несклонности к риску q(x) для функции полезности и(х) является возрастающей (постоянной, убывающей) тогда и только тогда, когда надбавка за риск п(ху х) является возрастающей (постоянной, убывающей) функцией от X для всех х.
Приведем несколько простых примеров функций полезности, отражающих возрастающую несклонность к риску.
Пример 4.23. Предположим, что и(х)=— есх, с>0. Ясно, что и'(х)=— сесх и и"(х) =—с2 есх, так что несклонность к риску q(x)=c. Конечно, и(х)—убывающая и отражает несклонность к риску, однако q(x) —постоянная, т. е. невоз-растающая функция.
Этот пример приводит к некоторым определениям и обобщениям. Принимающий решение постоянно не склонен к риску, если q(x)—положительная константа, постоянно безразличен к риску, если q(x) — нуль, и постоянно склонен к риску, если q(x)—отрицательная константа. Как и в случае возрастающих функций полезности, эти условия налагают довольно строгие ограничения на форму функции полезности.
Теорема 4.30.
и(х)~—есх ?=z*~q(x) = c>0 (постоянная несклонность к риску),
и(х)~—X?==^> ?00 = 0 (безразличие к риску),
и(х) ~ecx^=z=^q(x) = c<0 (постоянная склонность к риску).
Убедившись в справедливости предположений, приводящих к таким функциям полезности, нужно лишь определить детерминированный эквивалент * одной простой лотереи, чтобы построить всю функцию.
Пример 4.24. Рассмотрим квадратичную функцию полезности вида
и(х) = а—Ьх—сх2,
где Ь>0, с>0 и —(Ь\2с). Последнее условие нужно потому, что и является убывающей только на этом интервале. Нетрудно убедиться, что
и" (х) 2с
q (X)
и' (х) Ь + 2сх
откуда видно, что q(x) положительна, но убывает с ростом х.
В примере 4.24 и отражает убывающую несклонность к риску. Для того чтобы точнее определить это понятие, будем говорить, что у человека убывающая несклонность к риску, если: а) он не склонен к риску и б) надбавка за риск л(х, х) к любой лотерее X для него убывает по х. Такое поведение, согласно определению, является противоположным к возрастающей несклонности к риску.
Пример 4.25. Предположим, что и(х) = \og(b—х). Тогда и'(х)=—\/(Ь—х) и и"(х)=—х)2, так что q(x) = Ь/(Ь—х). Ясно, что при х<Ь функция q(x) является ,положительной и возрастающей по х. Отсюда следует, что и(х) отражает возрастающую несклонность к риску при х<Ь.
Пример 4.26."Пусть и(х)=—еах—Ьесх, где а>0, Ь>0 и с>0. Если а = с, то и(х)=—(і +fr)ecx и эта функция, как было показано, характеризует постоян-
179
ную несклонность к риску. =—а2еаж—Ьс2есх, так что
Если
афс, то и'(х)—-
а*еа* + Ьс2есх аеах + Ьсесх
-аеах—Ьсесх и ufr(x) =
В этом случае функция несклонности к риску q(x) всегда положительна и возрастает по х. Поэтому, если афс, то и (х) свидетельствует о возрастающей несклонности к риску. Принимая, без потери общности, что а<с> получаем, что функция несклонности к іриску немного больше, чем а, при больших по абсолютной величине отрицательных значениях ху увеличивается до (а2+Ьс2)/(а+ Л-bc) при *=0 и приближается к с, когда х становится положительным и большим.
В этом примере мы проиллюстрировали общий результат, аналогичный полученному выше результату для возрастающих функций полезности.
Теорема 4.31. Функция полезности, представляющая собой взвешенную сумму двух или более функций полезности, которые отражают возрастающую или постоянную несклонность к риску на интервале [х°, х*], характеризуется возрастающей несклонностью к риску на [х°, х*], исключая те подынтервалы, где суммируемые с весами функции отражают одинаковую и постоянную несклонность к риску. На этих подынтервалах она характеризуется постоянной несклонностью к риску.
Заметим, что если в примере 4.26 мы положим и\(х)=—евх и «2M=—есж, то и(х) будет взвешенной суммой: и(х) =u\(х) +Ь(и2) (х). Каждая из функций Uu U2 отражает постоянную несклонность к риску. Если соответствующие им функции несклонности к риску не равны друг другу, т. е. если афс, то и должна отражать возрастающую несклонность к іриску, а если эти функции оказываются равными, то ясно, что и должна характеризоваться постоянной несклонностью к риску. Как и для возрастающих функций полезности, мы могли бы выделить среди монотонно убывающих функций полезности, отражающих склонность к риску, такие, которые отражают возрастающую, постоянную и убывающую склонность к риску. Для убывающих функций полезности мы могли бы рассмотреть и пропорциональную склонность к риску. Однако нам в настоящее время представляется, что это дало бы слишком мало (или вовсе не дало бы ничего) для существа дела, и поэтому мы не будем этим заниматься.
4.8.4. Немонотонные функции полезности. Наши определения несклонности и склонности к риску остаются для немонотонных предпочтений такими же, какими они были в монотонных случаях. Именно, мы не склонны к риску, если предпочитаем ожидаемый выигрыш во всякой невырожденной лотерее самой лотерее; мы склонны к риску, если предпочитаем любую невырожденную лотерею ее ожидаемому выигрышу.
