Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кини Р.Л. -> "Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения" -> 69

Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.

Кини Р.Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. Под редакцией Шахнова И.Ф. — M.: Радио и связь, 1981. — 560 c.
Скачать (прямая ссылка): prinyatie risheny1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 261 >> Следующая

Для такого индивидуума полезность ожидаемого ' выигрыша должна быть меньше, чем ожидаемая ,полезность лотереи, т. е.
и[Е(х)]<Е[и(х)]. (4.12)
Поскольку теорема 4.4 аналогична предыдущей, мы приводим ее без доказательства.
Теорема 4.4. Принимающий решение склонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности выпукла.
Существует и другой іпуть определения несклонности к риску .для возрастающих функций полезности. Однако, поскольку это определение не подходило 'бы для других случаев, мы определяем .несклонность к риску при помощи (4.11), а другое определение приводим в виде теоремы 4.5.
Теорема 4.5. При возрастающих функциях полезности принимающий решение тогда и только тогда не склонен к риску, когда
150
его детерминированный эквивалент для любой невырожденной' ло*~ тереи меньше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее.
Доказательство. Предположим, что принимающий решение «є склонен к риску. Тогда согласно (4.11) и[Е(х)]>Е[и(х)].. Но согласно определению детерминированного эквивалента и(х) = =Е[и(х)]у так что и[Е(х)]>и(х). Понятно, что поскольку функция полезности возрастающая, то Е(х) >х.
Теперь для проверки справедливости обратного утверждения, предположим, что Е(х)>х. Тогда, поскольку функция полезности, возрастающая, и[Е(х)] >и(х) =Е[и(х)], и доказательство завершено.
Для возрастающих функций полезности мы вводим следующее определение.
Определение. Надбавкой за риск (HP) к лотерее х называется разность .между ее ожидаемым выигрышем и детерминированным эквивалентом. Формально
HP (j?) =х—х = E {х) —u-1Eu (х),
где и~1 — функция, обратная к и.
Теорема 4.6. При возрастающих функциях полезности принимающий решение не склонен к риску тогда и только тогда, когда надбавка за риск для него положительна для всех невырожденных лотерей.
Доказательство опускаем, так как оно проводится непосредственно на основании определения надбавки за риск. Рассмотрим два иллюст-
ративных примера. Пояснения понятий детерминированного эквивалента и надбавки за риск к лотерее <xif X2> в случае функции полезности, характеризую- ш щейся несклонностью к рис- u(x) ку, даны на рис. 4.5.
Пример 4.5. Из табл. 4.1 видно, что если использовать функцию полезности и(х) =— е~0'2*, то детерминированным эквивалентом лотереи <0, 10> будет 2,85, а ожидаемым выигрышем 5,0. Таким образом, надбавка за риск равна (5,0—2,85), т. е. 2,15. Аналогично детерминированный эквивалент для <20, 30 > равен 22,85, а ожидаемый выигрыш 25,0, так что надбавка за риск опять равна 2,15.
Пример 4.6. Пусть при х>—30 функцией полезности является^ u(x)=log(x + 30). Детерминированным эквивалентом для <—20, —10> будет —і15,857; надбавка за риск равна —15-((-15,857) = = 0,857. Надбавки за риск к лотереям <—25, —15> и <—29,.
Рис. 4.5. Возрастающая функция полезности, характеризующая несклонность к риску
151
—19> равны соответственно 1,34 и 2,68. Заметим, что если х будет выражаться, например, в тысячах долларов, то число 30 'будет означать 30 ООО дол. По своему физическому смыслу надбавка за риск — это сумма (в единицах измерения критерия X), которую принимающий решение согласен «уступить» из среднего выигрыша (т. е. эта сумма меньше, чем математическое ожидание выигрыша) за то, чтобы избежать риска, связанного с данной лотереей. Если принимающий решение сталкивается с неблагоприятной для него лотереей (т. е. лотереей, которая менее предпочтительна, чем положение, в котором он в данный момент находится), то естественно спросить, сколько он заплатил бы (в единицах измерения критерия X) за то, чтобы не участвовать в этой лотерее.
Определение. Страховой суммой (CC) для лотереи х называется взятая с обратным знаком величина детерминированного эквивалента лотереи
CC (х) =—X=—и~1Еи(х).
Если, например, детерминированный эквивалент лотереи х равен —5000 дол., то страховая сумма равна 5000. Принимающий решение, следовательно, согласился бы уступить в точности 5000 дол. за то, чтобы избавиться от финансовой ответственности, связанной с участием в этой лотерее.
Предположим, что в последнем примере л:=0 — эквивалентно тому, чтобы ничего не предпринимать, т. е. остаться в существующем положении. Тогда <;—20, —10> — неблагоприятная лотерея, так как ее ожидаемая полезность меньше, чем полезность существующего положения. Если принимающий решение безразличен к выбору между <С—20, —»10> и детерминированным эквивалентом —15,857, то он должен был бы заплатить 15,857, чтобы избежать участия в лотерее <—20, —10>. Следовательно, 15,857 — страховая сумма для лотереи <—20, —10>.
4.4.2. Ограничение вида функции полезности. Прежде чем углубляться в теорию, поясним, как можно использовать монотонность и несклонность к риску для облегчения построения функции полезности. Предположим, что мы собираемся построить функцию полезности и для критерия X, а принимающий решение указал, •что его предпочтения монотонно возрастают по X, и сам он не склонен к риску.
Для начала выберем Х\ и лг2, где х2>Х\ и произвольно назначим значения и(х\) и и(х2)у но выполним условие и(х2) >и(х\). Это допустимо, так как функция полезности единственна с точностью до положительного преобразования. Нанеся точки [х\9 u(xi)] и [х2, U(X2)] на график на рис. 4.6, а, легко увидеть, что функция полезности лица, принимающего решение, ограничена незаштрихованной областью. Действительно, рассмотрим на рисунке точку 3. Если бы функция полезности проходила через эту точку, то она никак не могла бы быть вогнутой. Но поскольку принимающий решение не склонен к риску, его функция полезности должна быть вогнутой. Следовательно, она не может проходить
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 261 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed